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\begin{center}
{\bf Pr\'actico 5: Aplicaciones diferenciables}
\end{center}
\vskip2mm\noindent{\bf 1.} 
(a) Designemos mediante ${\mathcal L}={\mathcal L}(\rn,\rrm)$ el espacio vectorial de las transformaciones lineales
de $\rn$ en $\rrm$. Demostrar que la funci\'on $\normat\quad\colon{\mathcal L}\to\R$ definida mediante
\[
\normat{T}=\sup\{\norma{T(x)}\colon\norma{x}\leq 1\},
\]
es una norma.
\newline
(b) Consideremos dos transformaciones lineales $T\colon\rn\to\rrm$ y $U\colon\rrm\to\R^p$. Demostrar que
\[
\normat{T\circ U}\leq\normat T\normat U.
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 2.} 
(a) Demostrar que la composici\'on de dos homeomorfismos es un homeomorfismo.
\newline
(b) Demostrar que la composici\'on de dos difeomorfismos es un difeomorfismo.
\vskip2mm\noindent{\bf 3.} 
Hallar una aplicaci\'on diferenciable $f$, y dos puntos $a$ y $b=a+v$ de su dominio tales que
no existe $\theta\in (0,1)$ tal que se verifique
\[
f(b)-f(a)=\derivada fv(a+\theta v).
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 4.}
Investigar en cu\'ales puntos $f$ es localmente invertible y hallar el diferencial de la inversa local.
\begin{enumerate}
\item
$f\colon\R^2\rightarrow \R^2$, dada por $f(x,y)=(2xy,x^2-y^2)$.
\item
$f\colon\R^2\rightarrow \R^2$, dada por $f(x,y)= (e^x \cos y,e^x\sen y)$.
\item
$f\colon\R^2\rightarrow \R^2$, dada por $f(x,y)=(x\cos y,x\sen y)$.
\item
$f\colon\R\rightarrow \R / f(x)=x^3/3-2x^2/5+6x-2$.
\end{enumerate}

\vskip2mm\noindent{\bf 5.} (Examen 10/2/2000)
Hallar las distancias m\'aximas y  m\'\i nimas del punto $(0,0,2)$ a la curva intersecci\'on del cono 
de ecuaci\'on $z^2=x^2+y^2$ con el cilindro de ecuaci\'on $3(z-1)^2+(y-1)^2-4=0$.

\vskip2mm\noindent{\bf 6.}
Hallar las distancias m\'aximas y  m\'\i nimas del punto $(1,1,1)$ a la curva intersecci\'on del cono de ecuaci\'on $x^2+z^2-y^2=0$ con la esfera de ecuaci\'on $x^2+y^2+(z-1)^2=1 $.

\vskip2mm\noindent{\bf 7.}
Hallar el m\'aximo y el m\'\i nimo del volumen de un tetraedro inscrito en la esfera de centro en el origen y radio 1, con dos v\'ertices fijos en $(1,0,0)$ y$(0,1,0)$.


\vskip2mm\noindent{\bf 8.} (Examen 4/3/2002)
Se considera el subconjunto $G$ de $\R^3$ de los puntos que verifican
\begin{equation*}
\begin{cases}
3y^2+4x^2-4z=0\\
z^2-y=0
\end{cases}
\end{equation*}
(a) Probar que $G$ es compacto.
\newline
(b) ?`Hay puntos singulares en $G$ (es decir, puntos en los cuales el diferencial de $(3y^2+4x^2-4z,z^2-y)$ no tiene 
rango m\'aximo)?
\newline
(c) Se considera la funci\'on $f\colon\R^3\to\R$ dada por
\begin{equation*}
f(x,y,z)=4xy+4z-1.
\end{equation*}
Hallar el m\'aximo y el m\ii nimo absoluto de la funci\'on $f$ en la regi\'on $G$.
 

\vskip2mm\noindent{\bf 9.} (Examen 7/12/2001)
Se considera $F\colon\R^3\to\R^2$ dada por 
\begin{equation*}
F(x,y,z)=\big(x^2+y^2+(z-1)^2-1,x^2-y^2+z^2\big).
\end{equation*}
Sea $C=\big\{(x,y,z)\in\R^3\colon F(x,y,z)=(0,0)\big\}$.
\newline
(a) Probar que $C$ es un conjunto compacto.
\newline
(b) 
Hallar la distancias m\'axima y m\ii inima del punto $(1,1,1)$ al conjunto $C$.

\vskip2mm\noindent{\bf 10.} (Examen 10/12/1999)
Hallar los extremos absolutos de la funci\'on:
\begin{equation*}
f(x,y,z)=xy+yz+zx,
\end{equation*}
en la regi\'on definida por:
\begin{equation*}
\begin{cases}
z-x^2-y^2+2=0\\
x+y+z-1=0
\end{cases}
\end{equation*}
(Demostrar que el dominio de $f$ es un conjunto compacto.)

\vskip2mm\noindent{\bf 11.} (Examen 1o./8/2002)
Se considera en $\R^3$ el conjunto de $C$ los puntos $(x,y,z)$
que verifican
\begin{equation*}
\begin{cases}
x^2+y^2-z^2=0\\
x^2+z^2-4z+3=0\\
\end{cases}
\end{equation*}
(a) Admitiendo que $C$ es cerrado y acotado, hallar las distancias m\'axima y m\ii nima de $C$
al plano de ecuaci\'on 
\begin{equation*}
y+2z=0.
\end{equation*}
(b) Probar que $C$ es cerrado y acotado.


\vskip2mm\noindent{\bf 12.} (Examen 21/5/2003)
Sea la funci\'on $f\colon\R^3\to\R$ dada por $f(x,y,z)=x+y+2z$, y el conjunto $S$
de los puntos de $\R^3$ que verifican las condiciones
\begin{equation*}
\begin{cases}
3x^2+y^2=12,\\
x+y+z=2
\end{cases}
\end{equation*}
\noindent
(a) Determinar los puntos cr\ii ticos de $f$ condicionados a $S$
\vskip1mm\noindent
(b) Demostrar que $S$ es un conjunto compacto.
\vskip1mm\noindent
(c) Estudiar extremos absolutos de $f$ en $S$





\end{document}



