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\begin{center}
{\bf Pr\'actico 4: Diferenciabilidad - \'Ultima parte.}
\end{center}

\vskip2mm\noindent{\bf 1.}
Hallar el m\'{a}ximo y el m\ii nimo absolutos en todo $\R^2$
de cada una de las siguientes funciones:
\begin{itemize}
\item [(a)] $f(x,y)=y^2+x^4+y^4$.
\item [(b)] $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$.
\item [(c)] $f(x,y)=\left( ax^2+by^2 \right) \ e^{-\left( x^2+y^2 \right)}$.
\item [(d)] $f(x,y)=(x^2+y^2-2x+1)/(x^2+y^2+2x-2y+3)$.
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 2.}
Hallar y clasificar los puntos cr\ii ticos de las siguientes funciones:
\begin{itemize}
\item[(a)]  $f(x,y)=x^2 + (y-1)^2$.
\item[(b)] $f(x,y)=1+x^2 -y^2$.
\item[(c)] $f(x,y)=(x-y+1)^2$.
\item[(d)] $f(x,y)=x^3 -3xy^2 + y^3$.
\item[(e)] $f(x,y)=x^3 +y^3 -3xy$.
\item [(f)] $f(x,y)=\sen(x)\sen(y)\sen(x+y)$ en $[0,\pi ] \times[0,\pi ]$.
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
Estudiar extremos relativos y absolutos de la funci\'on $f\colon\rn\times\R^m\to\R$
definida mediante $f(x,y)=\interno xx-\interno yy$, con $x\in\rn$, $y\in\R^m$.

\vskip2mm\noindent{\bf 4.}  
Sea $f(x,y)=(3-x)(3-y)(x+y-3)$. Hallar todos sus puntos cr\'\i ticos y
clasificarlos. ?`Tiene $f$ extremos absolutos en todo $\R^2$?

\vskip2mm\noindent{\bf 5.} 
Determinar los extremos absolutos y relativos y los puntos de silla de la funci\'on
\begin{equation*}
f(x,y)=xy(1-x^2-y^2) \text{ en }\  [0,1]\times [0,1].
\end{equation*}
\vskip2mm\noindent{\bf 6.}  
Verificar que el campo escalar $f(x,y,z)=x^4 + y^4 +z^4 -4xyz$ tiene un
punto estacionario en $(1,1,1)$ y determinar la naturaleza de dicho punto.

\vskip2mm\noindent{\bf 7.}(Regresi\'on lineal)  
Dados $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$, parejas de n\'umeros reales, 
hallar una funci\'on $f(x)=ax+b$ que
minimice el ``error cuadr\'atico" $E(a,b)$, dado por
\[ 
E(a,b)=\sum^{i=n}_{i=1} \left( f(x_{i})-y_{i} \right)^2.
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 8.} 
Sea $f$ una funci\'{o}n diferenciable en un conjunto abierto $U$ de $\rn$. 
Se dice que $f$ es homog\'enea de grado $p$ en $U$ si
$f(tx)=t^{p}f(x) \ \ \forall t>0,x\in U,tx\in U$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Dar una condici\'on para que un polinomio de grado $p$ en $n$ variables
sea homog\'eneo de grado $p$.
\item[(b)] Probar que para una funci\'{o}n  homog\'enea de
grado $p$ se cumple que $\langle x,\nabla f(x)\rangle=pf(x)$.
Sugerencia: considerar $g(t)=f(tx)$.
\item[(c)] Probar que si $f$ satisface
$\langle x,\nabla f(x)\rangle=pf(x)$ para todo $x$ en
un abierto $U$ entonces $f$ es homog\'enea de grado $p$
en $U$. Sugerencia: considerar $g(t)=f(tx)-t^{p}f(x)$.
\item[(d)] Si $f$ es de clase $C^2$
y homog\'enea de grado $p$ en $\R^2$ probar que $f$
verifica:
\[ 
x^{2}f_{xx}(x,y)+2xyf_{xy}(x,y)
+y^{2}f_{yy}(x,y)=p(p-1)f(x,y) \]
\end{itemize}


\vskip2mm\noindent{\bf 9.}
Determinar los conjuntos de nivel y los gradientes de las funciones $f,g,h\colon\R^2\to\R$ definidas
mediante $f(x,y)=ax+by\ (a^2+b^2\neq 0)$, $g(x,y)=x^2+y^2$, $h(x,y)=x^2-y^2$.

\vskip2mm\noindent{\bf 10.}
Hacer un croquis del dominio de $f$ y dibujar los conjuntos de nivel.
\[ 
f(x,y)={1\over\sqrt{x^2 +y^2 }}\qquad
f(x,y)=\log\left(\frac{1-x^2 -y^2 }{x^2 +y^2 }\right) 
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 11.}
Probar que la ecuaci\'on $xy^2 +4x^{2}y-12=0$ determina $y=f(x)$ alrededor del punto $(1,2)$.
Dar la ecuaci\'on de las rectas tangente y normal a $f(x)$ en $x=1$.

\vskip2mm\noindent{\bf 12.} (Ejercicio de examen 10/2/2000)
Se considera la ecuaci\'on 
\[
3x^3+6x^2y+3xy^2+2y^3-16=0.
\]
(a) Probar que existe la funci\'on impl\ii cita $y=f(x)$ definida por la ecuaci\'on anterior,
y que $f$ puede definirse en toda la recta real.
\newline
(b) Hallar los m\'aximos y m\ii nimos relativos de $f$ y estudiar su comportamiento
cuando $x\to\pm\infty$, incluyendo la existencia de as\ii ntotas. Como conclusi\'on,
representar gr\'aficamente la funci\'on $f$.


\vskip2mm\noindent{\bf 13.}
Probar que las siguientes ecuaciones determinan $y=f(x)$ alrededor del punto $(x_0,y_0)$,
que se indica en cada caso. Calcular $f'(x_{0})$, y $f''(x_{0})$.
\begin{itemize}
\item[(a)] $x^{2}y+\log(xy)=1$ , $(x_0,y_0)=(1,1)$.
\item[(b)] $x+\sh(x)-\sen(y)=0$ , $(x_0,y_0)=(0,0)$. Hallar $f'''(x_{0})$.
\item[(c)] $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, en $(x_0,y_0)$ gen\'erico con $x^2_{0}/a^2+y^2_{0}/b^2=1$, $y_0\neq 0 $.
?`Que ocurre si $y_0=0$?
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 14.}
Sea $U\subset\R^2$ y $f\colon U\rightarrow\R$, 
$f(x,y)\neq 0$, tal que $(x^2 + y^4)f(x,y)+\big(f(x,y)\big)^3 =1,
   \ \  \forall (x,y)\in U$. Probar que $f\in C^{\infty}$ en $U$.

\vskip2mm\noindent{\bf 15.} 
Demostrar que la ecuaci\'on $e^{y}+y=e^{-2x}-x$ determina una \'unica funci\'on $y=f(x)$ 
definida para todo $x$ real.
(Se sugiere estudiar las funciones $F(y)=e^{y}+y$, $G(x)=e^{-2x}-x$.) 
Hallar $f'(0)$, $f''(0)$ y $f'''(0)$.

\vskip2mm\noindent{\bf 16.} Sean $u=(x,y,z)$ y $r\colon\R^3\rightarrow\R$,
dada por $r(x,y,z)=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Mostrar que $\nabla r$ es un vector unitario y colineal con $u$.
\item[(b)] Mostrar que $\nabla r^{n}=nr^{n-2}u$ ($n$ entero).
\item[(c)] Hallar $f$ tal que $\nabla f=u$.
\end{itemize}
Aplicaci\'on: Se sabe que el campo el\'ectrico creado por una carga puntual $Q$
ubicada en $(0,0,0)$, en el punto $(x,y,z)$ es $E(x,y,z)=kQu/r^3$ y que el potencial
el\'ectrico es una funci\'on $V$ tal que $E=-\nabla V$.
Deducir que el campo el\'ectrico es perpendicular a las superficies equipotenciales.
Hallar el potencial $V$.

\vskip2mm\noindent{\bf 17.} 
Sea $F\colon\R^3\rightarrow\R$ tal que $F(x,y,z)=axz+x\Arctg(z)+z\sen(2x+y)-1$ ($a$ real).
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que la ecuaci\'on $F(x,y,z)=0$ determina a $z=f(x,y)$ alrededor de $(0,\pi/2, 1)$.
\item[(b)] Hallar $a$ para que $(0,\pi/2)$ sea un punto cr\ii tico de
$f$, y clasificarlo. 
\item[(c)] Calcular
$
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,\frac{\pi}{2})}
{f(x,y)-1-3x^{2}/2-2x(y-\pi/2)\over x^{2}+(y-\pi/2)^2}.
$
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 18.} 
Sea $F\colon\R^3\to\R$ dada por $F(x,y,z)=x^3+y^2+yz$.
\vskip1mm\noindent
(a) Hallar los puntos $(a,b,c)\in\R^3$ tales que es posible aplicar el teorema de la funci\'on impl\ii cita
a la ecuaci\'on $F(x,y,z)=0$ para despejar $z=f(x,y)$ en un entorno de $(a,b)$.
\vskip1mm\noindent
(b) Calcular el gradiente de $f$ en el punto $(1,1)$.

\vskip2mm\noindent{\bf 19.} 
Se define la distancia $d(A,B)$ entre dos conjuntos $A$ y $B$ de $\R^2$, mediante
\begin{equation*}
d(A,B)=\inf\{\|a-b\|\colon a\in A,b\in B\},
\end{equation*}
donde $\|x\|$ denota la norma euclideana.
\vskip1mm\noindent
(a) i) Demostrar que si $A$ es compacto, $B$ es cerrado, y son disjuntos ($A\cap B=\emptyset$), entonces
$d(A,B)>0$.
\vskip1mm\noindent
ii) Sea $A\subset U$, $A$ compacto, $U$ abierto. Demostrar que existe $r>0$ tal que para todo $x\in A$ se verifica
$B(x,r)\subset U$.
\vskip1mm\noindent
(b) Sea $f\colon\R^2\to\R$ de clase $C^1$, $0$ un valor regular de $f$, y $S=f^{-1}(0)$ la superficie de nivel $0$ de $f$.
Si $p\notin S$ y existe un $q\in S$ tal que $d(\{p\},S)=\|p-q\|>0$, demostrar que
$p-q\perp T_qS$.
\vskip1mm\noindent
(c) Sea adem\'as  $g\colon\R^2\to\R$ de clase $C^1$, $0$ valor regular de $g$, y $V=g^{-1}(0)$.
Supongamos que existen dos puntos $p\in S$ y $q\in V$ tales que $d(S,V)=\|p-q\|>0$.
Demostrar que $T_pS=T_qV$.

\vskip2mm\noindent{\bf 20.}
(a) 
Determinar los extremos absolutos de la funci\'on $f(x,y)=ax+by\ (a^2+b^2\neq 0)$ 
condicionados a $x^2+y^2=1$
\vskip1mm\noindent
(b) Determinar los extremos absolutos de la funci\'on $g(x,y,z)=ax+by+cz\ (a^2+b^2+c^2\neq 0)$ 
condicionados a $x^2+y^2+z^2=1$

\vskip2mm\noindent{\bf 21.} 
Se considera $\efedos$ dada por $f(x,y)=(x+2y)e^{x+y}$. Hallar los extremos de $f$ condicionados a $x^2+y^2=1$.

\vskip2mm\noindent{\bf 22.} 
Consideremos la funci\'on $f\colon\rn\times\rn\to\R$ definida mediante $f(x,y)=\interno xy\ (x\in\rn,\ y\in\rn)$.
Hallar los extremos de $f$ condicionados a ${\norma x}^2+{\norma y}^2=1$ y deducir la desigualdad 
de Cauchy-Schwarz.

\vskip2mm\noindent{\bf 23.} 
(a) Hallar los extremos relativos de $f(x,y)= x^2+ y^2-xy$ en $\R^2$.
(b) Hallar los extremos relativos de $f$ condicionados a $x^2+y^2+xy=1$, 
y condicionados a $x^2+y^2+xy\leq 1$.

\vskip2mm\noindent{\bf 24.} Hallar extremos absolutos de $f$ en $D$:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f(x,y)=xy$ \ con \ $D=\{ (x,y)\colon 5x^2 -6xy +5y^2 \leq 4 \}.$
\item[(b)] $f(x,y)=e^{(x-1)^2+y^2}$ \ con \ $D=\{ (x,y)\colon 2x^2 +y^2 \leq 1\}.$
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 25.} 
Hallar la m\'axima y m\ii nima distancia desde el origen a la curva 
$5x^2 +6xy +5y^2=8$. 
Hallar adem\'as los puntos en los que esta curva tiene tangentes horizontales y verticales.

\vskip2mm\noindent{\bf 26.} 
Hallar  los puntos de la superficie $z^2-xy=1$ m\'as pr\'oximos al origen.

\vskip2mm\noindent{\bf 27.} 
Hallar la m\'{\i}nima distancia del origen de
$\R^3$ al conjunto de puntos $(x,y,z)$ que verifican la ecuaci\'{o}n $x^2(y+z)+2x(y^2-z^2)+2=0$.

\end{document}







   


