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\begin{center}
{\bf Pr\'actico 1: Nociones topol\'ogicas elementales de $\rn$ (primera parte)}
\end{center}

%%%%%%% ----------- Espacio vectorial erre-ene - Producto interno y norma

\vskip2mm\noindent{\bf 1.}
(a) Verificar que $(\rn,\R,+,\times)$ es un espacio vectorial.
\vskip1mm\noindent
(b) Sean $x=\x$, $y=\y$. Demostrar que $\interno xy=x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ es un producto interno.

\vskip2mm\noindent{\bf 2.}
(a) Investigar si las siguientes funciones de $\R^2$ en $\R$ son normas
\begin{itemize}
\item[(i)]  $N(x,y)=|x|+|y|$,
\item[(ii)] $N(x,y)=\sqrt{x^2 +y^2}$,
\item[(iii)]$f(x,y)=\max\big\{|x|,|y|\big\}$,
\item[(iv)]$f(x,y)=|x+y|$.
\end{itemize}
\vskip1mm\noindent
(b) Para aquellas que sean normas dibujar la bola de centro en el origen y radio 1, 
e indicar cu\'ales de los siguientes puntos pertenecen a la bola de centro $(3,4)$ y radio 2: $(3,4),(4,5), (0,1)$.

\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
(a) Demostrar que $\normai x=\max\{|x_1|,\dots,|x_n|\}$ y $\normauno x=|x_1|+\cdots+|x_n|$ son normas en $\rn$.
\vskip1mm\noindent
(b) Demostrar que 
\[
\normai x\leq\normados x\leq\normauno x\leq n\normai x,
\quad
\text{para todo vector $x$ en $\rn$}.
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 4.}
(a) Probar que si $N_1$ y $N_2$ son normas en $\rn$ entonces $N=N_1+N_2$ tambi\'en lo es.
\vskip1mm\noindent
(b) Deducir que $N(x,y)=\sqrt{x^2 +y^2}+\max(|x|,|y|)$ es una norma en $\R^2$ y
verificar que $N(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1)=1$.
\vskip1mm\noindent
(c) Dibujar el conjunto $\{(x,y)\in\R^2\colon N(x,y)=1\}$.
\vskip2mm\noindent{\bf 5.}
(a) Demostrar que la equivalencia entre normas verifica la propiedad transitiva: si $N_1$ y $N_2$ son normas equivalentes,
y lo mismo ocurre con $N_2$ y $N_3$, entonces $N_1$ y $N_3$ son normas equivalentes.
\vskip1mm\noindent
(b) Probar que si dos normas $N_1$ y $N_2$ son equivalentes entonces,
dada una bola $B_{N_{1}}$ (definida con la primer norma) existen dos bolas 
$B_{N_{2}}$ y $B'_{N_{2}}$ (definidas con la segunda norma) tal que $B_{N_{2}} \subset B_{N_{1}}\subset B'_{N_{2}}$.

\vskip2mm\noindent{\bf 6.}
(a) Probar que si $X\subset B(a,r)$ entonces $X$ es un conjunto acotado.
\vskip1mm\noindent
(b) Probar que la intersecci\'on de una familia arbitraria de conjuntos 
convexos es un conjunto convexo.

%%%%%%%% --------- Sucesiones y sucesiones de Cauchy

\vskip2mm\noindent{\bf 7.}
Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones definidas en $\R^2$:
\[
a_{n}=\Big(e^{-n},{3\over n} \Big),
\
b_{n}=\left( e^{-n}+2,[1+(-1)^{n}]n \right),
\
c_{n}=\Big( (-1)^{n},(-1)^{n}+{1\over n} \Big).
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 8.}
(a) Demostrar que una sucesi\'on en $\rn$ es convergente si y s\'olo si son convergentes
sus sucesiones coordenadas.
\vskip1mm\noindent
(b) Demostrar que una sucesi\'on en $\rn$ est\'a acotada si y s\'olo si est\'an acotadas
sus sucesiones coordenadas.
\vskip1mm\noindent
(c) Una sucesi\'on $(x_k)$ en $\rn$ no tiene subsucesiones convergentes si si y s\'olo si
$\norma{x_k}\to\infty\ (\ki)$.
\vskip1mm\noindent
(d) Probar que si una sucesi\'on tiene l\ii mite, todas sus subsucesiones tienen el mismo l\ii mite.
\vskip1mm\noindent
(e) Probar que si una sucesi\'on es tal que toda subsucesi\'on tiene una subsucesi\'on convergente a un mismo l\ii mite,
la sucesi\'on original tiene ese l\ii mite.

\vskip2mm\noindent{\bf 9.} 
Probar que si $N$ es una norma en $\rn$ (es decir, una funci\'on de $\rn$ en $\R$ que verifica
los tres axiomas de norma) se cumple:
	\begin{itemize}
	\item[(a)] $|N(x)-N(y)|\leq N(x-y)$. Interpretar geometricam\'ente, si $N$ es la norma euclideanda.
	\item[(b)] Si $\lim_{k\rightarrow\infty}x_k=x$ entonces
		$\lim_{k\rightarrow\infty}N(x_k)=N(x).$ ?`Es cierto el rec\ii proco?
\end{itemize}
\vskip2mm\noindent{\bf 10.} Demostrar que el l\ii mite de una sucesi\'on en $\rn$, cuando existe,
es \'unico.

\vskip2mm\noindent{$\mathbf{11^*}$.} Sea $C([a,b])$ el espacio vectorial de las funciones
	continuas en $[a,b]$ a valores reales con las operaciones habituales de
	suma de funciones y producto de una funci\'on por un n\'umero. En  $C([a,b])$
	consideremos las siguientes normas:
	\[ \parallel f \parallel_{\infty } =\max \{\mid f(t) \mid\colon t\in
	[a,b] \} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel f \parallel_2 = \left( \int_a^b \mid
	f(t)\mid ^2 \ dt \right)^{1/2} \]
	\begin{itemize}
	\item[(a)] Probar que $\parallel f \parallel_2 \leq (b-a)^{1/2}
		\parallel f \parallel_{\infty } , \ \ \ \forall f\in C([a,b]) $.
	\item[(b)] Probar que si $f_k \longrightarrow f$ con la norma $\parallel \
		\parallel_{\infty }$ entonces $f_k \longrightarrow f$ con la norma $\parallel \ \parallel_2$.
	\item[(c)] Probar que no es cierto el rec\'\i proco de la parte (b).
	\item[(d)] ?`Estas dos normas consideradas son equivalentes?
	\item[(e)] ?`Es $C([a,b])$ un espacio vectorial de dimensi\'on finita?
\end{itemize}

%%%%%%%% ----------- Conjuntos abiertos y cerrados

\vskip2mm\noindent{\bf 12.} 
Se definen los siguientes conjuntos:
\begin{itemize}
\item[]
$A_1=\{(x,y)\in \R^{2} \colon 1\leq x \leq 2 , 1<y<3 \}$
\item[]
$A_2 =\{(x,y)\in \R^{2} \colon 1\leq x \leq 2 , y>0 \}$
\item[]
$A_3 =\{(x,y)\in \R^{2} \colon y=x^2 \}$
\item[]
$A_4 =\{(x,y)\in \R^{2} \colon x^2 +y^2 <1,(x,y)\neq (0,0) \}$
\item[]
$A_5 =\{(x,y)\in \R^{2} \colon 2x^2 +y^2 <1 \} \cup \{ (x,y)\in \R^2 \colon x=y \}$
\item[]
$A_6 =\{(x,y)\in \R^{2} \colon x=(-1)^n +\frac{1}{n}, y=1 , n\geq 1 \}$
\item[]
$A_7 =\{(x,0)\in \R^{2} \colon x=(-1)^n + e^{-n} ,n\geq 1 \} \cup \{(-1,0)\}
                         \cup \{A_1\cap Q^2 \}$
\item[]
$A_8 =\{(x,y,z)\in \R^{3} \colon x+y+z<1,x>0,y>0,z>0 \}$
\item[]
$A_9 =\{(x,y,z)\in \R^{3} \colon x^2 +y^2 +1\leq z \}$
\end{itemize}
\vskip1mm\noindent
(a)
Representarlos gr\'aficamente e investigar si est\'an acotados.
\vskip1mm\noindent
(b)
Hallar el interior, la frontera y la clausura de cada uno de ellos.
\vskip1mm\noindent
(c)
Hallar el conjunto de sus puntos de acumulaci\'on.
\vskip1mm\noindent
(d) Indicar si son abiertos o cerrados.

\vskip2mm\noindent{\bf 13.} Probar los siguientes resultados.
\vskip1mm\noindent
(a)
Si $A$ es un conjunto abierto y $x\in A$ entonces $A\setminus\{x\}$ es abierto.
\vskip1mm\noindent
(b) $A^c$ es cerrado sii $A\cap\delta A=\phi$.
\vskip1mm\noindent
(c) $\interior{A}=\bar{A}-\frontera{A}$ es un conjunto abierto, 
m\'as a\'un, es la uni\'on de los subconjuntos abiertos contenidos en $A$ (es el ``mayor" conjunto abierto incluido en $A$).
\vskip1mm\noindent
(d)
$A$ es cerrado sii $\frontera{A}\subset A$ sii $A' \subset A$.
\vskip1mm\noindent
(e)
$\bar{A}=A\cup\frontera{A}=A\cup A'$ es un conjunto cerrado,
m\'as a\'un, es la intersecci\'on de todos los conjuntos cerrados que contienen a $A$
(es el ``menor" cerrado que contiene a A).
\vskip1mm\noindent
(f)
$A'$ es un conjunto cerrado.

\vskip2mm\noindent{\bf 14.} Hallar todos los puntos de acumulaci\'on del conjunto 
\[
S=\Big\{{1\over n}+{1\over m}\colon \text{ $n$ y $m$ naturales}\Big\}.
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 15.}
Demostrar que un punto $a$ es de acumulaci\'on de un conjunto $X$ sii existe una sucesi\'on $(x_k)\subset X\setminus\{a\}$
que converge a $a$.

\end{document}
