Facultad de Ciencias  Centro de Matemática  Cálculo Diferencial e Integral II (2003)

Práctico 1: Nociones topológicas elementales de ℝ^{n} (primera parte)

1. (a) Verificar que (ℝ^{n}, ℝ, +, ×) es un espacio vectorial.

(b) Sean x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}). Demostrar que ⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + ⋯ + x_{n}y_{n} es un producto interno.

2. (a) Investigar si las siguientes funciones de ℝ^{2} en ℝ son normas

(i) N(x, y) = |x| + |y|,

(ii) N(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

(iii) f(x, y) = max {|x|, |y|},

(iv) f(x, y) = |x + y|.

(b) Para aquellas que sean normas dibujar la bola de centro en el origen y radio 1, e indicar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la bola de centro (3, 4) y radio 2: (3, 4), (4, 5), (0, 1).

3. (a) Demostrar que ∥x∥_{∞} = max{|x_{1}|, …, |x_{n}|} y ∥x∥_{1} = |x_{1}| + ⋯ + |x_{n}| son normas en ℝ^{n}.

(b) Demostrar que

∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{2} ≤ ∥x∥_{1} ≤ n∥x∥_{∞}, para todo vector x en ℝ^{n}.

4. (a) Probar que si N_{1} y N_{2} son normas en ℝ^{n} entonces N = N_{1} + N_{2} también lo es.

(b) Deducir que N(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + max(|x|, |y|) es una norma en ℝ^{2} y verificar que N(\sqrt{2} − 1, \sqrt{2} − 1) = 1.

(c) Dibujar el conjunto {(x, y) ∈ ℝ^{2} : N(x, y) = 1}.

5. (a) Demostrar que la equivalencia entre normas verifica la propiedad transitiva: si N_{1} y N_{2} son normas equivalentes, y lo mismo ocurre con N_{2} y N_{3}, entonces N_{1} y N_{3} son normas equivalentes.

(b) Probar que si dos normas N_{1} y N_{2} son equivalentes entonces, dada una bola B_{N_{1}} (definida con la primer norma) existen dos bolas B_{N_{2}} y B′_{N_{2}} (definidas con la segunda norma) tal que B_{N_{2}} ⊂ B_{N_{1}} ⊂ B′_{N_{2}}.

6. (a) Probar que si X ⊂ B(a, r) entonces X es un conjunto acotado.

(b) Probar que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

7. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones definidas en ℝ^{2}:

a_{n} = (e^{−n}, \frac{3}{n}), b_{n} = (e^{−n} + 2, [1 + (−1)^{n}]n) , c_{n} = ((−1)^{n}, (−1)^{n} + \frac{1}{n}).

8. (a) Demostrar que una sucesión en ℝ^{n} es convergente si y sólo si son convergentes sus sucesiones coordenadas.

(b) Demostrar que una sucesión en ℝ^{n} está acotada si y sólo si están acotadas sus sucesiones coordenadas.

(c) Una sucesión (x_{k}) en ℝ^{n} no tiene subsucesiones convergentes si si y sólo si ∥x_{k}∥ → ∞ (k → ∞).

(d) Probar que si una sucesión tiene límite, todas sus subsucesiones tienen el mismo límite.

(e) Probar que si una sucesión es tal que toda subsucesión tiene una subsucesión convergente a un mismo límite, la sucesión original tiene ese límite.

9. Probar que si N es una norma en ℝ^{n} (es decir, una función de ℝ^{n} en ℝ que verifica los tres axiomas de norma) se cumple:

(a) |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y). Interpretar geometricaménte, si N es la norma euclideanda.

(b) Si lim_{k→∞} x_{k} = x entonces lim_{k→∞} N(x_{k}) = N(x). ¿Es cierto el recíproco?

10. Demostrar que el límite de una sucesión en ℝ^{n}, cuando existe, es único.

11^{∗}. Sea C([a, b]) el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b] a valores reales con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de una función por un número. En C([a, b]) consideremos las siguientes normas:

∥ f ∥_{∞}= max{| f(t) |: t ∈ [a, b]} ∥ f ∥_{2}= (∫_{a}^{b} | f(t) |^{2} dt)^{1/2}

(a) Probar que ∥ f ∥_{2}≤ (b − a)^{1/2} ∥ f ∥_{∞}, ∀f ∈ C([a, b]).

(b) Probar que si f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{∞} entonces f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{2}.

(c) Probar que no es cierto el recíproco de la parte (b).

(d) ¿Estas dos normas consideradas son equivalentes?

(e) ¿Es C([a, b]) un espacio vectorial de dimensión finita?

12. Se definen los siguientes conjuntos:

A_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 < y < 3}

A_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y > 0}

A_{3} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y = x^{2}}

A_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 1, (x, y) ≠ (0, 0)}

A_{5} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = y}

A_{6} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, y = 1, n ≥ 1\}

A_{7} = {(x, 0) ∈ ℝ^{2} : x = (−1)^{n} + e^{−n}, n ≥ 1} ∪ {(−1, 0)} ∪ {A_{1} ∩ Q^{2}}

A_{8} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z < 1, x > 0, y > 0, z > 0}

A_{9} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + 1 ≤ z} (a) Representarlos gráficamente e investigar si están acotados.

(b) Hallar el interior, la frontera y la clausura de cada uno de ellos.

(c) Hallar el conjunto de sus puntos de acumulación.

(d) Indicar si son abiertos o cerrados.

13. Probar los siguientes resultados.

(a) Si A es un conjunto abierto y x ∈ A entonces A \ {x} es abierto.

(b) A^{c} es cerrado sii A ∩ δA = ϕ.

(c) A^{∘} = Ā−δ A es un conjunto abierto, más aún, es la unión de los subconjuntos abiertos contenidos en A (es el “mayor”conjunto abierto incluido en A).

(d) A es cerrado sii δ A ⊂ A sii A′ ⊂ A.

(e) Ā = A ∪ δ A = A ∪ A′ es un conjunto cerrado, más aún, es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A (es el “menor”cerrado que contiene a A).

(f) A′ es un conjunto cerrado.

14. Hallar todos los puntos de acumulación del conjunto

S = \{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}: n y m naturales\}.

15. Demostrar que un punto a es de acumulación de un conjunto X sii existe una sucesión (x_{k}) ⊂ X \ {a} que converge a a.