Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002)

Práctico 8

1. Investigar en cuáles puntos es f el localmente C^{1} invertible y hallar el diferencial de la inversa local.

1. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (2xy, x^{2} − y^{2}).

2. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (e^{x} cos y, e^{x} sen y).

3. f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, dada por f(x, y) = (x cos y, x sen y).

4. f: ℝ → ℝ/f(x) = x^{3}/3 − 2x^{2}/5 + 6x − 2.

2. (Prueba parcial, 26/11/2001) Sea g: ℝ^{3} → ℝ dada por g(x, y, z) = x^{3} + y^{2} + xz.

(a) Hallar los puntos (a, b, c) ∈ ℝ^{3} tales que es posible aplicar el teorema de la función implícita a la ecuación g(x, y, z) = 0 para despejar z como función de (x, y) en un entorno de (a, b).

(b) Calcular el gradiente de φ en el punto (1, 1), donde g(x, y, φ(x, y)) = 0 para todo (x, y) en un entorno de (1, 1).

3. (Exámen 10/2/2000) Hallar las distancias máximas y mínimas del punto (0, 0, 2) a la curva intersección del cono de ecuación z^{2} = x^{2}+y^{2} con el cilindro de ecuación 3(z−1)^{2}+(y−1)^{2}−4 = 0.

4. Hallar las distancias máximas y mínimas del punto (1, 1, 1) a la curva intersección del cono de ecuación x^{2} + z^{2} − y^{2} = 0 con la esfera de ecuación x^{2} + y^{2} + (z − 1)^{2} = 1.

5. Hallar el máximo y el mínimo del volumen de un tetraedro inscrito en la esfera de centro en el origen y radio 1, con dos vértices fijos en (1, 0, 0) y(0, 1, 0).

6. (Exámen 4/3/2002) Se considera el subconjunto G de ℝ^{3} de los puntos que verifican

\begin{cases}3y^{2} + 4x^{2} − 4z = 0 \\ z^{2} − y = 0 \end{cases}

(a) Probar que G es compacto.

(b) ¿Hay puntos singulares en G (es decir, puntos en los cuales el diferencial de (3y^{2} + 4x^{2} − 4z, z^{2} − y) no tiene rango máximo)?

(c) Se considera la función f: ℝ^{3} → ℝ dada por

f(x, y, z) = 4xy + 4z − 1.

Hallar el máximo y el mínimo absoluto de la función f en la región G.

7. (Exámen 7/12/2001) Se considera F: ℝ^{3} → ℝ^{2} dada por

F (x, y, z) = (x^{2} + y^{2} + (z − 1)^{2} − 1, x^{2} − y^{2} + z^{2}).

Sea C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : F (x, y, z) = (0, 0)}.

(a) Probar que C es un conjunto compacto.

(b) Hallar la distancias máxima y míinima del punto (1, 1, 1) al conjunto C.

8. (Exámen 10/2/2000) Se considera la ecuación

3x^{3} + 6x‘2y + 3xy^{2} + 2y^{3} − 16 = 0.  (1)

(a) Probar que existe la función implícita y = f(x) en (1) y que f puede definirse en toda la recta real.

(b) Hallar los máximos y mínimos relativos de f y estudiar su comportamiento cuando x → ±∞, incluyendo la existencia de asíntotas. Como conclusión, representar gráficamente la función f.

9. (Exámen 10/12/1999) Hallar los extremos absolutos de la función:

f(x, y, z) = xy + yz + zx,

en la región definida por:

\begin{cases}z − x^{2} − y^{2} + 2 = 0 \\ x + y + x − 1 = 0 \end{cases}

10. (Exámen 1o./8/2002) Se considera en ℝ^{3} el conjunto de C los puntos (x, y, z) que verifican

\begin{cases}x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0 \\ x^{2} + z^{2} − 4z + 3 = 0 \end{cases}

(a) Admitiendo que C es cerrado y acotado, hallar las distancias máxima y mínima de C al plano de ecuación

y + 2z = 0.

(b) Probar que C es cerrado y acotado.