Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002)

Práctico 7

1. Probar que la ecuación xy^{2} + 4x^{2}y − 12 = 0 determina y en función de x alrededor del punto (1, 2). Dar la ecuación de las rectas tangente y normal a y = φ(x) en x = 1.

2. Probar que las siguientes ecuaciones determinan y en función de x alrededor del punto (x_{0}, y_{0}), que se indica en cada caso. Calcular φ′(x_{0}), y φ′′(x_{0}).

(a) x^{2}y + log(xy) = 1 , (x_{0}, y_{0}) = (1, 1).

(b) x + sh(x) − sen(y) = 0 , (x_{0}, y_{0}) = (0, 0). Hallar φ′′′(x_{0}).

(c) x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1, en (x_{0}, y_{0}) genérico con x_{0}^{2}/a^{2} + y_{0}^{2}/b^{2} = 1, y_{0} ≠ 0. ¿Que ocurre si y_{0} = 0?

3. Sea U ⊂ ℝ^{2} y f: U → ℝ , f(x, y) ≠ 0, tal que (x^{2} + y^{4})f(x, y) + (f(x, y))^{3} = 1, ∀(x, y) ∈ U. Probar que f ∈ C^{∞} en U.

4. Demostrar que la ecuación e^{y} + y = e^{−2x} − x determina una única función y = φ(x) definida para todo x real. (Se sugiere estudiar las funciones F (y) = e^{y} + y y G(x) = e^{−2x} − x.) Hallar φ′(0), φ′′(0) y φ′′′(0).

5. Sean u = (x, y, z) y r: ℝ^{3} → ℝ, dada por r(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.

(a) Mostrar que ∇r es un vector unitario y colineal con u.

(b) Mostrar que ∇r^{n} = nr^{n−2}u (n entero).

(c) Hallar f tal que ∇f = u.

Aplicación: Se sabe que el campo eléctrico creado por una carga puntual Q ubicada en (0, 0, 0), en el punto (x, y, z) es E(x, y, z) = kQu/r^{3} y que el potencial eléctrico es una función V tal que E = −∇V. Deducir que el campo eléctrico es perpendicular a las superficies equipotenciales. Hallar el potencial V.

6. Sea f: ℝ^{3} → ℝ tal que f(x, y, z) = axz + x Artan(z) + z sen(2x + y) − 1 (a real).

(a) Probar que la ecuación f(x, y, z) = 0 determina a z en función de x e y alrededor de (0, π/2, 1).

(b) Hallar a para que (0, π/2) sea un punto crítico de φ, y clasificarlo (φ es la función definida implícitamente).

(c) Calcular lim_{(x,y)→(0, \frac{π}{2} )} \frac{φ(x,y)−1−3x^{2}/2−2x(y−π/2)}{x^{2}+(y−π/2)^{2}}.

7. (a) Hallar los extremos relativos de f(x, y) = x^{2} + y^{2} − xy en ℝ^{2}. (b) Hallar los extremos relativos de f condicionados a x^{2} + y^{2} + xy = 1, y condicionados a x^{2} + y^{2} + xy ≤ 1.

8. Hallar extremos absolutos de f en D:

(a) f(x, y) = xy con D = {(x, y): 5x^{2} − 6xy + 5y^{2} ≤ 4}.

(b) f(x, y) = e^{(x−1)^{2}+y^{2}} con D = {(x, y): 2x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

9. Hallar la máxima y mínima distancia desde el origen a la curva 5x^{2} + 6xy + 5y^{2} = 8. Hallar además los puntos en que hay tangentes horizontales y verticales.

10. Hallar los puntos de la superficie z^{2} − xy = 1 más próximos al origen.

11. Hallar la mínima distancia del origen de ℝ^{3} al conjunto de puntos (x, y, z) que verifican la ecuación x^{2}(y + z) + 2x(y^{2} − z^{2}) + 2 = 0.