Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002) Práctico 6

1. Hallar el máximo y el mínimo en todo R^{2} de cada una de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = y^{2} + x^{4} + y^{4}

(b) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2x^{2} + 4xy − 2y^{2}

(c) f(x, y) = (ax^{2} + by^{2}) e^{−(x^{2}+y^{2})}

(d) f(x, y) = (x^{2} + y^{2} − 2x + 1)/(x^{2} + y^{2} + 2x − 2y + 3)

(e) f(x, y) = (1 + (x − 1)^{2} + y^{2})(1 + x^{2} + (y − 1)^{2})(1 + x^{2} + y^{2})

2. Hallar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = x^{2} + (y − 1)^{2}.

(b) f(x, y) = 1 + x^{2} − y^{2}.

(c) f(x, y) = (x − y + 1)^{2}.

(d) f(x, y) = x^{3} − 3xy^{2} + y^{3}.

(e) f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3xy.

(f) f(x, y) = sen(x) sen(y) sen(x + y) en [0, π] × [0, π].

3. Sea f(x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3). Hallar todos sus puntos críticos y clasificarlos. ¿Tiene f extremos absolutos en todo R^{2}?

4. Determinar los extremos absolutos y relativos y los puntos de silla de la función f(x, y) = xy(1 − x^{2} − y^{2}) en [0, 1] × [0, 1].

5. Dado n números reales diferentes x_{1}, ...., x_{n} y otros n números (no necesariamente diferentes) y_{1}, ...., y_{n}, hallar una función lineal f(x) = ax + b tal que minimice el “error cuadrático”:

E(a, b) = ∑_{i=1}^{i=n} (f(x_{i}) − y_{i})^{2}

6. Verificar que el campo escalar f(x, y, z) = x^{4} + y^{4} + z^{4} − 4xyz tiene un punto estacionario en (1, 1, 1) y determinar la naturaleza de dicho punto.

7. Sea f una función diferenciable en un conjunto abierto U de R^{n}. Se dice que f es homogénea de grado p en U si f(tx) = t^{p}f(x) ∀t > 0, x ∈ U, tx ∈ U.

(a) Probar que para una función homogénea de grado p se cumple que ⟨x, ∇f(x)⟩ = pf(x) (considerar g(t) = f(tx)).

(b) Probar que si f satisface ⟨x, ∇f(x)⟩ = pf(x) para todo x en un abierto U entonces f es homogénea de grado p en U. (considerar g(t) = f(tx) − t^{p}f(x) ).

(c) Si f es de clase C^{2} y homogénea de grado p en R^{2} probar que f verifica: x^{2}f_{xx}(x, y) + 2xyf_{xy}(x, y) + y^{2}f_{yy}(x, y) = p(p − 1)f(x, y)