Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002) Práctico 5

1. Para las siguientes funciones determinar el máximo dominio de definición posible, estudiar continuidad y hallar derivadas parciales en los dominios determinados:

(a) f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 2x^{2}y − 3xy + 9x.

(b) f(x, y) = Artan(y/x) (Calcular además todas las derivadas de segundo orden.)

(c) f(x, y) = x^{y}, f(x, y, z) = (xy)^{z}.

(d) f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0) \end{matrix} (Calcular las derivadas de segundo orden en

(0, 0).)

2. Estudiar continuidad y existencia de derivadas direccionales (en particular, de las derivadas parciales) en los puntos que se indican:

(a) En (0, 0), discutiendo según a real:

f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & si (x, y) ≠ 0, \\ a & si (x, y) = 0. \end{cases}

(b) En (0, y_{0}): f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{xy}−1}{x} & si x ≠ 0 \\ 0 & si x = 0 \end{matrix}

(c) En los ejes: f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy sen(1/x) cos(1/y) & si xy ≠ 0 \\ 0 & si xy = 0. \end{matrix}

(d) En (x_{0}, 1): f(x, y) = \{ \begin{matrix}x^{3} & si y ≥ 1 \\ x^{3}y^{2} & si y < 1. \end{matrix}

3. (a) Calcular el diferencial en un punto a arbitrario del dominio de las siguientes funciones:

(i) Una transformación lineal T: R^{n} → R. (ii) Dada una matriz simétrica A_{n×n}, la función es Q: R^{n} → R dada por Q(x) = x^{t}Ax para

todo x ∈ R^{n}.

(b) Dada una transformación lineal T: R^{n} → R^{n} definimos f: R^{n} → R por f(x) = ⟨x, T (x)⟩. Dado u ∈ R^{n}, hallar la derivada direccional de f según u.

4. Se considera f: R^{2} → R definida por:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}(x^{2} + y^{2}) sen(1/x) + e^{xy} & si x ≠ 0. \\ 1 & si x = 0. \end{matrix}

(a) Estudiar continuidad de f en los puntos (0, 0), (0, 1) y (1, 0).

(b) Hallar las derivadas parciales de f en (0, 0).

(c) Estudiar diferenciabilidad de f en los puntos (0, 0), (0, 1) y (1, 0).

5. 1. Demostrar que si u es una función de la forma u(x, y) = f(x)g(y), donde f y g son funciones definidas en algun intervalo abierto de R, entonces, u satisface la ecuación diferencial

u\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} − \frac{∂u}{∂x} \frac{∂u}{∂y} = 0.

2. Demostrar el recíproco de la proposición anterior.

6. Las ecuaciones x = e^{u} cos v e y = e^{u} sen v definen u y v como funciones de x e y, sean estas: u = U(x, y) y v = V (x, y). Hallar fórmulas explícitas para U(x, y) y V (x, y) y probar que en todo punto distinto del origen los gradientes de ambas funciones son perpendiculares.

7. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xyz = a^{3} (a ∈ R^{+}) en un punto genérico (x_{0}, y_{0}, z_{0}). Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por ese plano y los planos coordenados es 9a^{3}/2.

8. Si (x, y) verifica x^{2}+y^{2} = 1, hallar (x, y) y la dirección v con ∥v∥ = 1 para que (Df)_{(x,y)}(v) sea máxima, siendo f(x, y) = 3x^{2} + y^{2}.

9. Se consideran λ : (−ϵ, ϵ) → U ⊂ R^{n} y f: U → R funciones diferenciables. Calcular (f ∘ λ)′′(t) en función de las derivadas parciales de f y λ.