Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002)

Práctico 4

1. Probar que en los siguientes casos no existe el lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y):

f(x, y) = \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}}  f(x, y) = \frac{2x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}  f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x+y} , & si x + y ≠ 0 \\ 0, & si x + y = 0 \end{matrix}

2. (a) Sean f, g : U(⊂ R^{n}) → R, y p ∈ U. Probar que si lim_{x→p} f(x) = 0 y g es una función

acotada en alguna bola reducida de centro p entonces lim_{x⟶p} f(x)g(x) = 0.

(b) Calcular los límites de la siguientes funciones para (x, y) ⟶ (0, 0):

x sen (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} )  \frac{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}}  \frac{xy^{3}}{x^{2} + y^{4}}

3. (a) Probar que si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = L y existen los límites unidimensionales: lim_{x→a} f(x, y) y lim_{y→b} f(x, y) entonces existen los límites iterados y:

lim_{x⟶a} ( lim_{y⟶b} f(x, y)) = lim_{y⟶b} ( lim_{x⟶a} f(x, y)) = L

(b) Verificar que los límites iterados de f(x, y) = (x − y)/(x + y) existen en (0, 0) pero son distintos. Comentar.

(c) Verificar que los límites iterados de f(x, y) = (x^{2}y^{2})/(x^{2}y^{2} + (x − y)^{2}) existen y dan iguales en (0, 0) pero no existe el lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y). Comentar.

(d) Se considera f : R^{2} ⟶ R definida por:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}x sen \frac{1}{y}, & si y ≠ 0 \\ 0, & si y = 0 \end{matrix}

Mostrar que el lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0, pero un límite iterado no existe. ¿Esto contradice la parte (a)?

4. Calcular:

lim_{(x,y)⟶(1,2)} \frac{x^{2} + xy + 1}{x^{2} − x − y}  lim_{(x,y)⟶(0,0)} x y Log | y | lim_{(x,y)⟶(1,1)} \frac{x^{2} + xy − 2y^{2}}{x^{2} − y^{2}}

lim_{(x,y)⟶(0,0)} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} ;  lim_{(x,y)⟶(0,0)} \frac{e^{x−y} − 1}{x^{2} − y^{2}}  lim_{(x,y)⟶(0,0)} \frac{Log(1 + x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2} + x^{3}y}

5. Se considera f : R^{2} → R. Mediante el cambio de variable x = r cos(θ), y = r sen(θ), obtenemos f(x, y) = g(r, θ).

(a) Supongamos que g(r, θ) = f_{1}(r) f_{2}(θ). Probar que si f_{2} está acotada ∀θ ∈ [0, 2π) y lim_{r→0}f_{1}(r) = 0 entonces lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0.

(b) ¿Qué sucede si f_{2} no está acotada?

(c) Calcular:

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}}  lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

(d) ¿Es verdadera la siguiente implicación?

∀θ ∈ [0, 2π) lim_{r→0} g(r, θ) = 0, ⇒ lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0.