Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002)

Práctico 3

1. Dada f: A ⊂ R^{n} → R^{m}, tenemos f(x_{1}, …, x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, f_{m}(x_{1}, …, x_{n})), y a cada función f_{k}: A ⊂ R^{n} → R (k = 1, …, m) la llamamos función coordenada. Demostrar que la función f es continua en un punto a, si y solo si, son continuas las funciones coordenadas en a.

2. (a) Demostrar que la recta real R es un conjunto conexo. Demostrar, utilizando el teorema que afirma que el recorrido de un conjunto conexo a través de una función continua es un conjunto conexo, que son conexos los conjuntos [0, 1], (0, 1], [0, 1), (0, 1). ¿Es conexo un intervalo finito arbitrario? ¿Y un intervalo arbitrario?. (b) Demostrar que si un conjunto es conexo en R, entonces es un intervalo.

3. En cada caso hallar el dominio y estudiar la continuidad de f, donde f está definida por las siguientes fórmulas:

1. f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 4x^{2}y^{2}

2. f(x, y) = log(x^{2} + y^{2})

3. f(x, y) = Arcsen(x/\sqrt{x^{2} + y^{2}})

4. Dibujar el dominio de f y los conjuntos de nivel (es decir {(x, y) ∈ R^{2} : f(x, y) = c}) de las siguientes funciones:

f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} f(x, y) = log (\frac{1 − x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} )

5. Dada f: R^{2} → R definida por

f(x, y) = \begin{cases}\sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}, & si x^{2} + y^{2} < 1, \\ 0, & si x^{2} + y^{2} ≥ 1, \end{cases}

investigar la continuidad de f en todo R^{2}.

6. Sea f: R^{n} → R una función continua. Probar que:

(a) Si f(x) > 0 entonces existe ε > 0 tal que f(B(x, ε)) > 0. (Conservación del signo.)

(b) {x ∈ R^{n}: f(x) > 0} = f^{−1}(0, +∞) es un conjunto abierto.

(c) {x ∈ R^{n}: f(x) < 0} = f^{−1}(−∞, 0) es un conjunto abierto.

(d) {x ∈ R^{n}: f(x) = 0} = f^{−1}(0) es un conjunto cerrado.

7. Una función f: D ⊂ R^{n} → R se dice lipschitziana, cuando existe k > 0 tal que:

|f(x) − f(y)| ≤ k∥x − y∥ ∀x, y ∈ D.

(a) Probar que una transformación lineal T: R^{n} → R son lipschitzianas, determinando una constante que verifique la definición.

(b) Probar que una norma N(x) definida en R^{n} es una función lipschitziana, y determinar una constante que verifique la definición.

(c) Probar que toda función lipschitziana es uniformemente continua.

(d) Probar que f: [0, +∞) → R tal que f(x) = \sqrt{x} es uniformemente continua pero no lipschitziana.