Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo Diferencial e Integal II (2002)

Práctico 2

1. Probar que toda bola en R^{n} es un conjunto convexo.

2. Probar que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

3. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones definidas en R^{2}:

a_{n} = (e^{−n}, 3/n) b_{n} = (e^{−n} + 2, [1 + (−1)^{n}]n) c_{n} = ((−1)^{n}, (−1)^{n} + 1/n)

4. Demostrar que si x_{k} → a, y_{k} → b en R^{n}, y α_{k} → α en R, entonces se verifica:

(a) x_{k} + y_{k} → a + b.

(b) ⟨x_{k}, y_{k}⟩ → ⟨a, b⟩.

(c) α_{k}x_{k} → αa.

5. Demostrar la unicidad del límite de una sucesión en R^{n}.

6. Probar que si N es una norma en R^{n} (es decir, una función de R^{n} en R que verifica los tres axiomas de norma) se cumple:

(a) |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y). Interpretar geometricaménte, si N es la norma euclideanda.

(b) Si lim_{k→∞} x_{k} = x entonces lim_{k→∞} N(x_{k}) = N(x). ¿Es cierto el recíproco?

(c) Una sucesión {x_{k}} no tiene subsucesiónes convergentes si y solo si lim_{k→∞} ∥x_{k}∥ = ∞.

7. Dos normas N_{1} y N_{2}, definidas en un espacio vectorial se dicen equivalentes, cuando existen dos constantes positivas h y k tales que hN_{2}(x) ≤ N_{1}(x) ≤ kN_{2}(x) para todo vector x del espacio vectorial. Probar que si dos normas N_{1} y N_{2} son equivalentes entonces, dada una bola B_{N_{1}} (definida con la primer norma) existen dos bolas B_{N_{2}} y B′_{N_{2}} (definidas con la segunda norma) tal que B_{N_{2}} ⊂ B_{N_{1}} ⊂ B′_{N_{2}}.

8. Demostrar que si N es una norma en R^{n}, existe una constante k tal que N(x) ≤ k∥x∥, donde la segunda norma es la euclideana.

Ejercicios complementarios

9. Demostrar que si N es una norma en R^{n}, existe una constante h tal que h∥x∥ ≤ N(x), donde la primer norma es la euclideana. (Sugerencia: ver Lages Lima, pg. 18. Esto demuestra, junto con el ejercicio anterior, que en R^{n} todas las normas son equivalentes.) Probar que la definición de límite de una sucesión en R^{n} no depende de la norma elegida.

10. Sea C([a, b]) el espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b] a valores reales con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de una función por un número. En C([a, b]) consideremos las siguientes normas:

∥ f ∥_{∞}= max{| f(t) | /t ∈ [a, b]} ∥ f ∥_{2}= (∫_{a}^{b} | f(t) |^{2} dt)^{1/2}

(a) Probar que ∥ f ∥_{2}≤ (b − a)^{1/2} ∥ f ∥_{∞}, ∀f ∈ C([a, b]).

(b) Probar que si f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{∞} entonces f_{k} ⟶ f con la norma ∥ ∥_{2}.

(c) Probar que no es cierto el recíproco de la parte (b).

(d) ¿Estas dos normas consideradas son equivalentes?

(e) ¿Es C([a, b]) un espacio vectorial de dimensión finita?