Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e integral II (2002)

Práctico 1

1. (a) Investigar si las siguientes funciones de R^{2} en R son normas:

i)f(x, y) = |x| + |y| ii)f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} iii)f(x, y) = |x + y| iv)f(x, y) = max(|x|, |y|)

(b) Para aquellas que sean normas dibujar la bola de centro (3, 4) y radio 2 e indicar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a ella: (3, 4), (4, 5), (0, 1).

2. (a) Probar que si N_{1} y N_{2} son normas en R^{n} entonces N = N_{1} + N_{2} también lo es.

(b) Deducir que N(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + max(|x|, |y|) es una norma en R^{n} y verificar que N(\sqrt{2} − 1, \sqrt{2} − 1) = 1.

(c) Dibujar el conjunto {(x, y) ∈ R^{2} : N(x, y) = 1}.

3. Se definen los siguientes conjuntos:

A_{1} = {(x, y) ∈ R^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 1 < y < 3} A_{2} = {(x, y) ∈ R^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, y > 0} A_{3} = {(x, y) ∈ R^{2} : y = x^{2}} A_{4} = {(x, y) ∈ R^{2} : x^{2} + y^{2} < 1, (x, y) ≠ (0, 0)} A_{5} = {(x, y) ∈ R^{2} : 2x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(x, y) ∈ R^{2} : x = y} A_{6} = \{(x, y) ∈ R^{2} : x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, y = 1, n ≥ 1\} A_{7} = {(x, 0) ∈ R^{2} : x = (−1)^{n} + e^{−n}, n ≥ 1} ∪ {(−1, 0)} ∪ {A_{1} ∩ Q^{2}} A_{8} = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x + y + z < 1, x > 0, y > 0, z > 0} A_{9} = {(x, y, z) ∈ R^{3} : x^{2} + y^{2} + 1 ≤ z}

(a) Representarlos gráficamente e investigar si están acotados.

(b) Hallar el interior, el exterior, la frontera y la clausura de cada uno de ellos.

(c) Hallar el conjunto de sus puntos de acumulación.

(d) Indicar si son abiertos o cerrados.

4. (a) Probar que toda bola abierta es un conjunto abierto.

(b) Probar que si A es un conjunto abierto y p ∈ A entonces A − {p} es abierto.

5. Probar los siguientes resultados:

(a) A es abierto sii A = A^{o} sii A^{C} es cerrado sii A ∩ δA = ϕ.

(b) A^{o} = Ā − δA = es un conjunto abierto, más aún, es el “mayor” conjunto abierto incluido en A.

(c) A es cerrado sii A^{C} es abierto sii A = Ā sii δA ⊂ A sii A′ ⊂ A.

(d) Ā = A ∪ δA = A ∪ A′ es un conjunto cerrado, más aún, es el “menor” cerrado que contiene a A.

(e) A′ es un conjunto cerrado.