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% Porque es tan chica la hoja ???
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% operadores

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\def\ii{\'{\i}}


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\newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)}
\newcommand{\chiri}{$\spadesuit$}

\begin{document}

\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  7:  Integrales impropias, f\'ormula de Taylor}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}



\vskip2mm\noindent{\bf 1.}
Clasifica (sin calcular) las siguientes integrales impropias:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{(t+1)(t+2)} \ dt \qquad
 \int_0^{+\infty} \frac{e^{t}}{1+e^t} \ dt  \qquad
 \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{2-t}} \ dt \qquad  \int_0^1 \frac{\logaritmo t}{t} \
 dt \]
\[ \int_{-1}^3 \frac{9}{x^2+x-2} \ dx \qquad
 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{t\sqrt{t}} \ dt  \qquad
 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2+1} \ dt
 \qquad  \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|} \ dt \]

\vskip2mm\noindent{\bf 2.}
Clasifica las siguientes integrales impropias:
\[ 
\int_0^{+\infty}\frac{2t^2+4t-7}{t^4+1}\ dt
\qquad  
\int_2^{+\infty}\frac{t^2}{t^2+t-2} \ dt
\qquad 
\int_0^{+\infty}\frac{2t^3-4t}{(t^2+1)^2} \ dt 
\qquad 
\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+1}\ dt 
\]
\[ 
\int_0^{+\infty} \frac{\sen^2t}{t^2+1}\ dt
\quad  
\int_{-\infty}^{-2} \frac{4}{x^2-1} \ dx
\quad
\int_1^{+\infty}\frac{e^x}{1+xe^{2x}} \ dx 
\quad 
\int_1^{+\infty} t^4\ e^{-t}\ dt
\quad 
\int_0^{+\infty} \frac{t\ e^{-2t}}{t^4+1} \ dt 
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
Clasifica las siguientes integrales impropias:
\[ \int_0^{+\infty} \frac{\sen^2t}{t^2+1}\ dt
\qquad   \int_{-\infty}^{-1} \frac{x+2}{x(x+1)} \ dx \qquad
\int_1^{+\infty} t^4\ e^{-t}\ dt \qquad \int_0^{+\infty} \frac{t\
e^{-2t}}{t^4+1} \ dt \]
\[ \int_{0}^2 \frac{1}{(t-1)^{1/3}} \ dt
\qquad \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(t-1)^2} \ dt \qquad
  \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{(1+x)^2} \ dx \qquad
  \int_0^{+\infty} e^{-2x} \ \cos^2x \ dx
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 4.}
Sea $f$ la funci\'{o}n dada por:
\[ f(t)=\frac{1}{t\ \left( 1+\logaritmo^2t \right)} \ \ \
\ \ \ \ \ \] Clasifica $\int_{0}^{+\infty} \ f$ \ \  y, si
corresponde, calcula su valor.

\vskip2mm\noindent{\bf 5.}
Sea $I_n(\al)=\int_1^{+\infty} \frac{\logaritmo^nt}{t^{1+\al}}\ dt\ \
(\al\in \R,\ n\in \N)$. Comprueba que esta integral converge.
Encuentra una relaci\'{o}n de recurrencia entre $I_n(\al)$ e
$I_{n-1}(\al)$. Prueba que  $I_n(\al)=\frac{n!}{\al ^{n+1}}$.


\vskip2mm\noindent{\bf 6.} Demuestra que
$\int_1^{+\infty} \frac{1-2\sen t}{t^3}\ dt$ es convergente y que
$-1/2 \leq \int_1^{+\infty} \frac{1-2\sen t}{t^3}\ dt \leq 3/2$.



\vskip2mm\noindent{\bf 7.}
(a) Prueba que
\ $ \int_{\pi}^{+\infty} \frac{\sen t}{t \ (\logaritmo t)^2} \ dt $\
converge.
\vskip1mm\noindent
(b)
Prueba que:
\ \ $ \int_{\pi}^{+\infty} \frac{\cos t}{\logaritmo t} \ dt \ = \
\int_{\pi}^{+\infty} \frac{\sen t}{t \ (\logaritmo t)^2} \ dt $
\vskip1mm\noindent
(c) Deduce que:
\ $ \left| \int_{\pi}^{+\infty} \frac{\cos t}{\logaritmo t} \ dt \right| \
\leq \ \frac{1}{\logaritmo\pi }$

\vskip2mm\noindent{\bf 8.}
Prueba las siguientes desigualdades:
\[ \left| \int_0^{+\infty} \frac{\sen^3x}{(x+1)^2} \ dx
\right|  \ \leq \ 1. \ \ \ \ \ \ \  \left| \int_0^{+\infty}
(-5+\sen x)\ e^{-3x} \ dx \right| \ \leq \ 2. \ \ \ \ \ \ \left|
\int_{-\infty}^0 \sen x \ e^{x} \ dx\right| \leq 1.\]

\vskip2mm\noindent{\bf 9.} Sea
$$
I_n=\int_0^{+\infty}e^{-nx}\cos^nx\,dx.
$$
\noindent\vskip1mm
(a)
Probar que $I_n$ converge para todo $n\ge1$.
\noindent\vskip1mm
(b)
Probar que $\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.
\noindent\vskip1mm
(c)
Probar que para todo $n\ge 2$ se cumple
$$
%I_n=\frac{1}{2n}+\frac{n-1}{2n}I_{n-2}.
I_n=\frac{1}{2n}+\frac{n-1}{2n}\int_0^{+\infty}e^{-nx}\cos^{n-2}x\,dx.
$$



\vskip2mm\noindent{\bf 10.} Sea $f:R\longrightarrow R$ una funci\'{o}n con derivada continua tal
que:\\ (i) \ $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$ \ \ \ \ (ii) \
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} f \ $ converge  absolutamente. \ \
\ \ (iii) \ $\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \mid f \mid \ =7$
\begin{itemize}
\item[(a)] Prueba que
$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} f(t) \ \sen t \ dt
 \ \ \ \ C.A. \ \ y \ \  que\ \
\left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}
 f(t) \ \sen t  \ dt \right| \leq 7 $
\item[(b)] Prueba que
$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \  f'(t) \ \cos t \ dt=f(x)\ \cos x +
 \int_{\frac{\pi}{2}}^{x}
 f(t) \ \sen t  \ dt \ \ \ \ \ \ \ \forall x\in R. $
\item[(c)] Deduce que
$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} f'(t) \ \cos t \ dt \ \ converge \
\  y \ \  que\
 \ \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}
f'(t) \ \cos t \ dt \right| \leq 7 $
\end{itemize}


\vskip2mm\noindent{\bf 11.} 
(a)
$ {\rm Prueba \ que}\ \  \int_{1}^{+\infty}
\frac{\cos 2t}{t}\ \ {\rm converge.} $ (integrar por partes).
\vskip1mm\noindent
(b)
$ {\rm Prueba \ que}\ \  \int_{1}^{+\infty}
\frac{\sen^2t}{t}\ \ {\rm no\ converge.} \ \ \left({\rm recuerda\
que} \ \sen^2t=\frac{1-\cos 2t}{2} \right).
 $
\vskip1mm\noindent
(c)
$ {\rm Prueba \ que}\ \  \int_{1}^{+\infty}
\frac{\sen t}{\sqrt{t}}\ \ {converge} $
\vskip1mm\noindent
(d)
Prueba que \  $\int_{1}^{+\infty}
\frac{\sen t}{\sqrt{t}+\sen t}$ \ no\ converge.\ \ (Te sugerimos
escribir \ $\frac{\sen t}{\sqrt{t}+\sen t}=
\frac{\sen t}{\sqrt{t}+\sen t}-\frac{\sen t}{\sqrt{t}} +
\frac{\sen t}{\sqrt{t}} $ y observar que $\sqrt{t}+\sen t \leq
\sqrt{t}+1 $.)
\vskip1mm\noindent
(e)
Muestra que
$\lim_{t\rightarrow +\infty }
\big((\sqrt{t}+\sen t)/\sqrt{t}\big)=1$
y que, sin embargo
\[ 
\int_{1}^{+\infty}
\frac{\sen t}{\sqrt{t}}\ \ {\rm y} \ \
\int_{1}^{+\infty}
\frac{\sen t}{\sqrt{t}+\sen t}\ \ {\rm no\ tienen\ el\ mismo\
comportamiento}. \] ?`Qu\'{e} comentario te merece este resultado?

\vskip2mm\noindent{\bf 12.}
(a) Clasifica utilizando el criterio integral, discutiendo seg\'un $\alpha\in\R$:
\[
\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^{\alpha}}
\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n(\logaritmo n)^{\alpha}}
\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n\logaritmo n\big(\logaritmo\logaritmo n\big)^{\alpha}}
\]
\vskip1mm\noindent
(b) Encuentra una generalizaci\'on del resultado anterior.














\vskip2mm\noindent{\bf 13.} Consideremos la funci\'{o}n: \ $ f(x)=
e^x-x-2+\cos x-\frac{x^3}{6}$
\begin{itemize}
\item[(a)] Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden 4
de $f$.
\item[(b)] Analiza si $f$ presenta un m\'{a}ximo o un
m\'{\i}nimo relativo en $0$.
\item[(c)] Calcula, discutiendo seg\'{u}n $\alpha \in \R^{+}$ el siguiente
l\'{\i}mite: \ $\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{\alpha}} $
\end{itemize}



\vskip2mm\noindent{\bf 14.} Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los
siguientes l\'{\i}mites:
\[  
\lim_{x\longrightarrow 0} \frac{x-\logaritmo(1+x)}{x^2} \qquad
 \lim_{x\longrightarrow 0} \frac{\logaritmo(1+x)-\sen x}{x^2+4x^3} \qquad
 \lim_{x\longrightarrow 0^{+}} \frac{\sen x-x\;\cos x}{x^{\al}}, \ \ \
\]
discutiendo seg\'un $\alpha$ real.

\vskip2mm\noindent{\bf 15.}
A partir de los desarrollos de $\sen x$ y $\cos x$ en 0,
clasificar las siguientes series
\[ 
\sum \left ( \frac{1}{n}- \sen\left ( \frac{1}{n} \right )
\right ) \ \ \sum \left ( 1 - \cos \left(\frac{1}{n} \right )
-\frac{1}{2n^2 } \right ) 
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 16.} Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden $n$
de las siguientes funciones:
\[ 
\frac{1}{2-x} 
\qquad  
\frac{1}{a-x}
\qquad 
\frac{1}{x^2-3x+2} 
\qquad 
\logaritmo (1-x) 
\qquad 
\logaritmo\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 
\]
\[ e^x-\cos x \qquad \ \sen x\cos x \qquad
\sen^2x \qquad \frac{1+x^2}{1-x^2} \ \ (orden \ 4) \qquad
\logaritmo(1+\sen x)\ \ (orden\ 4) \]



\vskip2mm\noindent{\bf 17.} Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los
siguientes l\'{\i}mites:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-x^2/2+\sen x-x}
{1-\cos x-x^2/2} \qquad \lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\logaritmo(1+x)-x-x^2/2}{\tg x-\sen x}\]

\vskip2mm\noindent{\bf 18.} En cada uno de los siguientes casos determina
los valores de los par\'{a}metros para obtener un infinit\'{e}simo del
mayor orden posible para $x \rightarrow 0$. Encuentra la parte
principal.
\[ a(e^x-1)-bx^2-x \qquad x+a\sen x+b\tg x
\qquad e^x\ \sen x-(ax+bx^2+cx^3) \]
\[ a(e^x-x-1)+b\sen x+c\logaritmo(1+x)-x \qquad
\cos x-\frac{1+2ax^2}{1+3bx^2} \qquad \logaritmo(1+x)-\frac{ax+bx^2}{1+cx}
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 19.} Usando el desarrollo de Mac Laurin de $\logaritmo(1+x)$,
 calcula $\logaritmo 1,5$ con error menor que $0,001$. Compara
tu resultado con el valor para $\logaritmo 1,5$ que te da la calculadora.
Vuelve a hacer el ejercicio con error menor que $0,0001$.

\vskip2mm\noindent{\bf 20.} ?`Cu\'{a}l es el comportamiento local de
$f(x)=e^x-\sen x -1-x^2/2-x^3/3$ alrededor de $0$?. Bosqueja $f$ en
alg\'{u}n entorno de $0$.

\vskip2mm\noindent{\bf 21.}
(a)
Encuentra la expresi\'{o}n de Lagrange para el resto de
orden $4$ de la funci\'{o}n $\sen x$.
\vskip1mm\noindent
(b)
Prueba que \ $|r_4(x)|\leq \frac{1}{2^5\ 5!}$ \ \ si \
\ $x\in [0,\frac{1}{2}]$.
\vskip1mm\noindent
(c)
Calcula un valor aproximado de la integral
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sen t^2 \ dt \]
y encuentra una cota del error cometido.


\end{document}

