Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 7: Integrales impropias, fórmula de Taylor

1. Clasifica (sin calcular) las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(t + 1)(t + 2)} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} dt  ∫_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{2 − t}} dt  ∫_{0}^{1} \frac{log t}{t} dt
∫_{−1}^{3} \frac{9}{x^{2} + x − 2} dx  ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{t\sqrt{t}} dt  ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{t^{2} + 1} dt  ∫_{−∞}^{+∞} e^{−|t|} dt

2. Clasifica las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{2t^{2} + 4t − 7}{t^{4} + 1} dt  ∫_{2}^{+∞} \frac{t^{2}}{t^{2} + t − 2} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{2t^{3} − 4t}{(t^{2} + 1)^{2}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{−t}}{t + 1} dt

∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{2} t}{t^{2} + 1} dt ∫_{−∞}^{−2} \frac{4}{x^{2} − 1} dx ∫_{1}^{+∞} \frac{e^{x}}{1 + xe^{2x}} dx ∫_{1}^{+∞} t^{4} e^{−t} dt ∫_{0}^{+∞} \frac{t e^{−2t}}{t^{4} + 1} dt

3. Clasifica las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{2} t}{t^{2} + 1} dt  ∫_{−∞}^{−1} \frac{x + 2}{x(x + 1)} dx  ∫_{1}^{+∞} t^{4} e^{−t} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{t e^{−2t}}{t^{4} + 1} dt
∫_{0}^{2} \frac{1}{(t − 1)^{1/3}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(t − 1)^{2}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{1 − cos x}{(1 + x)^{2}} dx  ∫_{0}^{+∞} e^{−2x} cos^{2} x dx

4. Sea f la función dada por:

f(t) = \frac{1}{t (1 + log^{2} t)}

Clasifica ∫_{0}^{+∞} f y, si corresponde, calcula su valor.

5. Sea I_{n}(α) = ∫_{1}^{+∞} \frac{log^{n} t}{t^{1+α}} dt (α ∈ ℝ, n ∈ ℕ). Comprueba que esta integral converge. Encuentra una relación de recurrencia entre I_{n}(α) e I_{n−1}(α). Prueba que I_{n}(α) = \frac{n!}{α^{n+1}} .

6. Demuestra que ∫_{1}^{+∞} \frac{1−2 sen t}{t^{3}} dt es convergente y que −1/2 ≤ ∫_{1}^{+∞} \frac{1−2 sen t}{t^{3}} dt ≤ 3/2.

7. (a) Prueba que ∫_{π}^{+∞} \frac{sen t}{t (log t)^{2}} dt converge.

(b) Prueba que: ∫_{π}^{+∞} \frac{cos t}{log t} dt = ∫_{π}^{+∞} \frac{sen t}{t (log t)^{2}} dt

(c) Deduce que: |∫_{π}^{+∞} \frac{cos t}{log t} dt| ≤ \frac{1}{log π}

8. Prueba las siguientes desigualdades:

|∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{3} x}{(x + 1)^{2}} dx| ≤ 1. |∫_{0}^{+∞}(−5 + sen x) e^{−3x} dx| ≤ 2. |∫_{−∞}^{0} sen x e^{x} dx| ≤ 1.

9. Sea

I_{n} = ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n} x dx.

(a) Probar que I_{n} converge para todo n ≥ 1.

(b) Probar que lim_{n→+∞} I_{n} = 0.

(c) Probar que para todo n ≥ 2 se cumple

I_{n} = \frac{1}{2n} + \frac{n − 1}{2n} ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n−2} x dx.

10. Sea f : R ⟶ R una función con derivada continua tal que:

(i) lim_{x→+∞} f(x) = 0 (ii) ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f converge absolutamente. (iii) ∫ +∞_{\frac{π}{2}} | f | = 7

(a) Prueba que ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f(t) sen t dt C.A. y que |∫ +∞_{\frac{π}{2}} f(t) sen t dt| ≤ 7

(b) Prueba que ∫ x_{\frac{π}{2}} f′(t) cos t dt = f(x) cos x + ∫ x_{\frac{π}{2}} f(t) sen t dt ∀x ∈ R.

(c) Deduce que ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f′(t) cos t dt converge y que |∫ +∞_{\frac{π}{2}} f′(t) cos t dt| ≤ 7

11. (a) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{cos 2t}{t} converge. (integrar por partes).

(b) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen^{2} t}{t} no converge. (recuerda que sen^{2} t = \frac{1−cos 2t}{2}) .

(c) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}} converge

(d) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} no converge. (Te sugerimos escribir \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} = \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} − \frac{sen t}{\sqrt{t}} + \frac{sen t}{\sqrt{t}} y observar que \sqrt{t} + sen t ≤ \sqrt{t} + 1.)

(e) Muestra que lim_{t→+∞} ((\sqrt{t} + sen t)/\sqrt{t}) = 1 y que, sin embargo

∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}} y ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t} + sen t} no tienen el mismo comportamiento.

¿Qué comentario te merece este resultado?

12. (a) Clasifica utilizando el criterio integral, discutiendo según α ∈ ℝ:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(log n)^{α}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n log n( log log n)^{α}}

(b) Encuentra una generalización del resultado anterior.

13. Consideremos la función: f(x) = e^{x} − x − 2 + cos x − \frac{x^{3}}{6}

(a) Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden 4 de f.

(b) Analiza si f presenta un máximo o un mínimo relativo en 0.

(c) Calcula, discutiendo según α ∈ ℝ^{+} el siguiente límite: lim_{x→0^{+}} \frac{f(x)}{x^{α}}

14. Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los siguientes límites:

lim_{x⟶0} \frac{x − log(1 + x)}{x^{2}}  lim_{x⟶0} \frac{log(1 + x) − sen x}{x^{2} + 4x^{3}}  lim_{x⟶0^{+}} \frac{sen x − x cos x}{x^{α}},

discutiendo según α real.

15. A partir de los desarrollos de sen x y cos x en 0, clasificar las siguientes series

∑ (\frac{1}{n} − sen (\frac{1}{n})) ∑ (1 − cos (\frac{1}{n}) − \frac{1}{2n^{2}} )

16. Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden n de las siguientes funciones:

\frac{1}{2 − x}  \frac{1}{a − x}  \frac{1}{x^{2} − 3x + 2}  log(1 − x)  log (\frac{1 + x}{1 − x})

e^{x} − cos x  sen x cos x  sen^{2} x  \frac{1 + x^{2}}{1 − x^{2}} (orden 4)  log(1 + sen x) (orden 4)

17. Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los siguientes límites:

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1 − x^{2}/2 + sen x − x}{1 − cos x − x^{2}/2}  lim_{x→0} \frac{log(1 + x) − x − x^{2}/2}{tg x − sen x}

18. En cada uno de los siguientes casos determina los valores de los parámetros para obtener un infinitésimo del mayor orden posible para x → 0. Encuentra la parte principal.

a(e^{x} − 1) − bx^{2} − x  x + a sen x + b tg x  e^{x} sen x − (ax + bx^{2} + cx^{3})
a(e^{x} − x − 1) + b sen x + c log(1 + x) − x  cos x − \frac{1 + 2ax^{2}}{1 + 3bx^{2}}  log(1 + x) − \frac{ax + bx^{2}}{1 + cx}

19. Usando el desarrollo de Mac Laurin de log(1 + x), calcula log 1, 5 con error menor que 0, 001. Compara tu resultado con el valor para log 1, 5 que te da la calculadora. Vuelve a hacer el ejercicio con error menor que 0, 0001.

20. ¿Cuál es el comportamiento local de f(x) = e^{x} − sen x − 1 − x^{2}/2 − x^{3}/3 alrededor de 0?. Bosqueja f en algún entorno de 0.

21. (a) Encuentra la expresión de Lagrange para el resto de orden 4 de la función sen x.

(b) Prueba que |r_{4}(x)| ≤ \frac{1}{2^{5} 5!} si x ∈ [0, \frac{1}{2}].

(c) Calcula un valor aproximado de la integral

∫0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} sen t^{2} dt

y encuentra una cota del error cometido.