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% Porque es tan chica la hoja ???
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% operadores

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\newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)}
\newcommand{\chiri}{$\spadesuit$}

\begin{document}

\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  6:  Integrales}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}



\vskip2mm\noindent{\bf 1.}
(a) Sean $f: [a,b] \rightarrow \mathbb R$ continua,
$
\alpha,
\beta:  I \rightarrow \mathbb R $ derivables, definimos
$\varphi: I
\rightarrow \mathbb R $ como $\varphi (x)=
\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt $ para $x \in I $. Probar
que $\varphi $ es derivable  y que $\varphi^{'}(x) = f( \beta
(x)). \beta^{'}(x) - f(\alpha(x)). \alpha^{'} (x) $.

\vskip1mm\noindent (b) Calcular la derivada de las siguientes funciones:
\[ F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{3+\sen t} \ dt,
\qquad \qquad G(x)=\int_0^{x^2} \frac{1+\sqrt{t}}{2+t} \ dt, \]
\[H(x)=\int_{2x+5}^3 e^{1-t}\sen t \ dt \qquad \qquad
J(x)=\int_{x^2}^{x^3} \frac{t^7}{1+t^4} \ dt
 \]



\vskip2mm\noindent{\bf 2.} Sean $F$ y $G$ dadas por:
\[ F(x)=\frac{1}{2} \ \left( \frac{x}{x^2+1} +\Arctg x \right) \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ G(x)=\int_0^x \frac{1}{(t^2+1)^2}\ dt  \]
Demostrar que $F(x)=G(x), \ \forall x\in \mathbb R$.


\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
 Demostrar que cualquiera que sea $x>0$ vale:
\[  \int_1^x \frac{2}{1+t^2} \ dt =
\int_{\frac{1}{x}}^x \frac{1}{1+t^2} \ dt \]

\vskip2mm\noindent{\bf 4.} En las siguientes partes se  sugiere usar
convenientemente el teorema del valor medio para integrales.
\begin{itemize}
\item[(a)] Sea $f$ una funci\'{o}n continua en un intervalo abierto $I$ y sea
$x_0$ un punto de $I$. Demostrar que \ $ \lim_{h\rightarrow
0}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\ dt =0.$
\item[(b)] Demostrar que para cada $p>0$ se cumple que \ $
\lim_{n\longrightarrow +\infty} \int_n^{n+p} \frac{\sen x}{x}\ dx
\ =0$.
\item[(c)] Demostrar que \ $ \lim_{x\longrightarrow +\infty}
\int_x^{x^3} e^{-t^2}\ dt \ \ =\ 0. $
\end{itemize}



\vskip2mm\noindent{\bf 5.}
Consideremos la funci\'{o}n $f$ dada por $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$.
Hallar el m\'{a}ximo y el m\'{\i}nimo de $f$ en $[0,1]$. Si se
sabe que
$\int_0^1 x^8 \ dx = \frac{1}{9}$, deducir que:
\[ \frac{1}{9\sqrt{2}} \leq
\int_0^1 \frac{x^8}{\sqrt{1+x}} \ dx \leq \frac{1}{9} \]




\vskip2mm\noindent{\bf 6.} Sean $F$ y $G$ dadas por:
\[ F(x)=\int_0^x\Arctg(t^2)\ dt \ \  \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ G(x)=\int_0^x\Arctg\left(\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)\
dt
\] Hallar $F''$ y $G''$ y encontrar la relaci\'{o}n que
existe entre  $F(x)$ y $G(x)$.




\vskip2mm\noindent{\bf 7.} Sea $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$ la funci\'{o}n
definida por:
\[ f(x)=\ \left\{ \begin{array}{ll} x\sen(\pi/x), & {\rm
si}\ x\not= 0. \\ 0, & {\rm si}\ x=0. \end{array} \right. \]
Probar que $-\frac{1}{2}\ \leq \ \int_0^1 f \ \leq \
\frac{1}{2}$.


\vskip2mm\noindent{\bf 8.} Demostrar el \emph{segundo teorema del valor medio}, que
puede enunciarse de la siguiente manera:
Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $\valo$ tal que $g$ es
no negativa en $\valo$ y $\int_a^b g \not= 0$. Entonces existe
alg\'{u}n punto $c\in \valo$ tal que \ $\int_a^b f.g\ =\ f(c)\
\int_a^b g$.


\vskip2mm\noindent{\bf 9.} Se consideran las siguientes funciones definidas en todo
$\mathbb R$ como sigue:
\[ F:F(x)= \Arctg(x)-\frac{x}{x^2+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
G:G(x)= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{x^2}{x^2+1}}
\sqrt{\frac{t}{1-t}} \ dt \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Calcular $F'(x),\ G'(x), \ F(1), \ G(1)$ y
deducir la relaci\'{o}n entre $F$ y $G$ en $[0,+\infty )$.
Calcular
$G(0)$.
\item[(b)] Hallar la relaci\'{o}n que existe entre $F$ y
$G$ en $(-\infty ,0)$.
\end{itemize}


\vskip2mm\noindent{\bf 10.}
Calcular las siguientes integrales:
\[ \int_1^2 \left( 3x^2-x-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}
\right) \ dx \ ,\  \ \ \int_1^4
\frac{6x-5\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\ dx \ ,   
\ \ \int_0^1\frac{dx}{x+1}dx \ ,
\ \int_{-2}^1 e^{-\mid x
\mid}\ dx \ ,\ \]
\[  \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1+\tg^2 x-2\coseno x \right)
\ dx \ ,\  \  \ \ 
\ \int_1^2 \left( \frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^2+1} \right) \ dx  \,
\
\ \  \int_0^3 \left( |2x-1|+|2x-4|\right) \ dx
  \]

\vskip2mm\noindent{\bf 11.} 
Aplicando el m\'{e}todo de integraci\'{o}n por partes para
calcular:
\[
 \ \int_0^{\pi} x \sen x \ dx \qquad 
 \ \int_1^2 x^2\logaritmo x \ dx  \qquad
  \ \int_0^1 x^2\ e^{-x} \ dx  \qquad
  \ \int_1^{x} t^2\ (\logaritmo t)^3\ dt, \ (x>0) \]
\[  \ \int_1^x \logaritmo t \ dt, \   (x>0). \qquad 
  \ \int_0^{x} e^{at} \sen(bt) \ dt \qquad  \int_0^1
x\sh xdx \qquad  \int_1^ e\coseno(\logaritmo t)dx
\]
\vskip2mm\noindent{\bf 12.}
 Encontrar una f\'{o}rmula de recurrencia para la
siguiente sucesi\'{o}n.
\[ I_n(x)=\int_1^x \left(\logaritmo t \right)^n \ dt, \ \ \ \ \
x>0, \ n\in N, \ n\geq 0. \]


\vskip2mm\noindent{\bf 13.}
Para cada $n\in N, \ n\geq 0$ consideremos:
\[ I_n(x)=\int_1^x \ \frac{\left(\logaritmo t \right) ^n}{t^2} \ dt
  \ \ \ \ \ \ \ \ (x>1). \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Calcular $I_0(x)$.
\item[(b)] Hallar una f\'ormula de recurrencia para $I_n(x)$
para $n \geq 1$.
\item[(c)] Calcular $I_3(x)$.
\end{itemize}


\vskip2mm\noindent{\bf 14.}
Para cada $n\in N, \ n\geq 0$ consideremos:
\[ I_n=\int_0^1 \left( 1-x^2 \right)^n \ dx \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Calcular $I_0$.
\item[(b)] Utilizando  partes probar que
 $I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1},  \forall n \geq 1$.
\item[(c)] Calcular $I_4$.
\end{itemize}



\vskip2mm\noindent{\bf 15.}
Sea $f$ una funci\'{o}n con derivada segunda continua en $[0,\pi]$ que
cumple \\$\int_0^{\pi} \left[ f(x)+f''(x) \right] \coseno x \ dx =0$.
Demostrar que $f'(\pi )=-f'(0)$.

\vskip2mm\noindent{\bf 16.}
Sabiendo que $f$ es continua en $[0,4]$ y que $\int_0^4 f \ =10$,
calcular $\int_0^2 f\left( x^2 \right) \ 2x \ dx $.

\vskip2mm\noindent{\bf 17.}
(a) Sea $\Phi : [0,1] \longrightarrow \mathbb R$ una
funci\'{o}n continua. Haciendo la sustituci\'{o}n $u=\pi - x$
demostrar que
\[ \int_0^{\pi} x\ \Phi(\sen x)\ dx \ =\ \frac{\pi}{2}\
\int_0^{\pi} \Phi(\sen x)\ dx \]
\vskip1mm\noindent
(b) Calcular:
\[ \int_0^{\pi} x\ \frac{\sen x}{1+\coseno^2x}\ dx \ \qquad \
\int_0^{\pi} x\sen^5x \coseno^4x\ dx \]



\vskip2mm\noindent{\bf 18.}
(a)
Probar que:
\[ \int_0^1 x^p \ (1-x)^q \ dx \ = \ \int_0^1 x^q \ (1-x)^p \ dx \ =
 \ \int_0^{\frac{\pi }{2}} (\sen t)^{2p+1}\ (\coseno t)^{2q+1}\ dt \]
\vskip1mm\noindent
(b)
Calcular:
\[ \int_0^1 x^2 \ (1-x)^{20} \ dx \qquad \qquad
  \int_0^{\frac{\pi }{2}} (\sen t)^5\ (\coseno t)^{41}\ dt \]

 

\vskip2mm\noindent{\bf 19.}
Calcular las siguientes integrales efectuando las sustituciones
que se indican:
\[ 
\int_2^{5} \frac{1}{x\sqrt{x-1}}dx,\quad x=t^2+1;
\quad
\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}},\quad x=\sen^2t; \] 
\[
\int_{0}^2\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\ dx,\quad x=4\sen^2t-2; 
\qquad 
\int_{-1}^0 x^2 \ \sqrt{4+3x}\ dx,
\quad
x=\frac{1}{3}(t^2-4).\]


\vskip2mm\noindent{\bf 20.} Calcular:
\[
\int_{-1}^0 \frac{3x+2}{x^2-3x+2} \ dx,
\quad
\int_4^2 \frac{2x^2+x+3}{(x-1)(x+1)(x+2)},
\quad
\int_2^{3} \frac{3x^3-3x+1}{x^2-1} \ dx.
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 21.} Hallar todas las primitivas de las siguientes funciones:
\[ \frac{3x^3-10x^2-x}{\left( x^2-1 \right)^2} \qquad \qquad
\frac{1-5x}{x^3-x} \qquad \qquad \frac{x^2}{x^2+4x+3} \]

\vskip2mm\noindent{\bf 22.} Calcular:
\[ \int \frac{dx}{x^2+2x+2} \qquad \qquad \int
\frac{dx}{(x^2+4x+5)(x^2-4x+3)}
\qquad \qquad \int \frac{xdx}{x^2-4x+8} \]

\vskip2mm\noindent{\bf 23.}
(a)
Integrando por partes demostrar la siguiente
\emph{f\'{o}rmula de recurrencia}:
\[ \int \frac{dx}{(x^2+bx+c)^m} = \frac{1}{(1-m)\Delta}
\left( \frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^{m-1}} + (4m-6) \int
\frac{dx}{(x^2+bx+c)^{m-1}} \right) \] en donde $\Delta = b^2-4c$.
\vskip1mm\noindent (b)
Encontrar las primitivas de las siguientes funciones:
\[ \frac{1}{(x^2+1)^2} \ \qquad \ \frac{1}{(x^2+x+3)^3} \ \qquad
\ \frac{2x^4+3x^3+2x^2+3x-1}{(x^2+x+1)^2 (x-1)}
 \]


\end{document}