Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 6: Integrales

1. (a) Sean f : [a, b] → ℝ continua, α, β : I → ℝ derivables, definimos φ : I → ℝ como φ(x) = ∫_{α(x)}^{β(x)} f(t)dt para x ∈ I. Probar que φ es derivable y que φ′(x) = f(β(x)).β′(x)− f(α(x)).α′(x).

(b) Calcular la derivada de las siguientes funciones:

F (x) = ∫_{1}^{x} \frac{e^{t}}{3 + sen t} dt, G(x) = ∫_{0}^{x^{2}} \frac{1 + \sqrt{t}}{2 + t} dt,

H(x) = ∫_{2x+5}^{3} e^{1−t} sen t dt J(x) = ∫_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{t^{7}}{1 + t^{4}} dt

2. Sean F y G dadas por:

F (x) = \frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} + Arctg x) G(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2} + 1)^{2}} dt

Demostrar que F (x) = G(x), ∀x ∈ ℝ.

3. Demostrar que cualquiera que sea x > 0 vale:

∫_{1}^{x} \frac{2}{1 + t^{2}} dt = ∫ x_{\frac{1}{x}} \frac{1}{1 + t^{2}} dt

4. En las siguientes partes se sugiere usar convenientemente el teorema del valor medio para integrales.

(a) Sea f una función continua en un intervalo abierto I y sea x_{0} un punto de I. Demostrar que lim_{h→0} ∫_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t) dt = 0.

(b) Demostrar que para cada p > 0 se cumple que lim_{n⟶+∞} ∫_{n}^{n+p} \frac{sen x}{x} dx = 0.

(c) Demostrar que lim_{x⟶+∞} ∫_{x}^{x^{3}} e^{−t^{2}} dt = 0.

5. Consideremos la función f dada por f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}. Hallar el máximo y el mínimo de

f en [0, 1]. Si se sabe que ∫_{0}^{1} x^{8} dx = \frac{1}{9}, deducir que:

\frac{1}{9\sqrt{2}} ≤ ∫_{0}^{1} \frac{x^{8}}{\sqrt{1 + x}} dx ≤ \frac{1}{9}

6. Sean F y G dadas por:

F (x) = ∫_{0}^{x} Arctg(t^{2}) dt G(x) = ∫_{0}^{x} Arctg (\frac{t^{2} − 1}{t^{2} + 1}) dt

Hallar F′′ y G′′ y encontrar la relación que existe entre F (x) y G(x).

7. Sea f : [0, 1] ⟶ ℝ la función definida por:

f(x) = \{ \begin{matrix}x sen(π/x), & si x ≠ 0. \\ 0, & si x = 0. \end{matrix}

Probar que −\frac{1}{2} ≤ ∫_{0}^{1} f ≤ \frac{1}{2}.

8. Demostrar el segundo teorema del valor medio, que puede enunciarse de la siguiente manera: Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tal que g es no negativa en [a, b] y ∫_{a}^{b} g ≠ 0. Entonces existe algún punto c ∈ [a, b] tal que ∫_{a}^{b} f.g = f(c) ∫_{a}^{b} g.

9. Se consideran las siguientes funciones definidas en todo ℝ como sigue:

F : F (x) = Arctg(x) − \frac{x}{x^{2} + 1} G : G(x) = ∫ \frac{x^{2}}{x^{2}+1} ; \frac{1}{2} \sqrt{\frac{t}{1 − t}} dt

(a) Calcular F′(x), G′(x), F (1), G(1) y deducir la relación entre F y G en [0, +∞). Calcular G(0).

(b) Hallar la relación que existe entre F y G en (−∞, 0).

10. Calcular las siguientes integrales:

∫_{1}^{2} (3x^{2} − x − \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}) dx , ∫_{1}^{4} \frac{6x − 5\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}} dx , ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x + 1}dx , ∫_{−2}^{1} e^{−|x|} dx ,

∫0^{\frac{π}{4}} (1 + tg^{2} x − 2 cos x) dx , ∫_{1}^{2} (\frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2} + 1}) dx ∫_{0}^{3} (|2x − 1| + |2x − 4|) dx

11. Aplicando el método de integración por partes para calcular:

∫_{0}^{π} x sen x dx  ∫_{1}^{2} x^{2} log x dx  ∫_{0}^{1} x^{2} e^{−x} dx  ∫_{1}^{x} t^{2} (log t)^{3} dt, (x > 0)
∫_{1}^{x} log t dt, (x > 0).  ∫_{0}^{x} e^{at} sen(bt) dt  ∫_{0}^{1} x sh xdx  ∫_{1}^{e} cos(log t)dx

12. Encontrar una fórmula de recurrencia para la siguiente sucesión.

I_{n}(x) = ∫_{1}^{x} (log t)^{n} dt, x > 0, n ∈ N, n ≥ 0.

13. Para cada n ∈ N, n ≥ 0 consideremos:

I_{n}(x) = ∫_{1}^{x} \frac{(log t)^{n}}{t^{2}} dt (x > 1).

(a) Calcular I_{0}(x).

(b) Hallar una fórmula de recurrencia para I_{n}(x) para n ≥ 1.

(c) Calcular I_{3}(x).

14. Para cada n ∈ N, n ≥ 0 consideremos:

I_{n} = ∫_{0}^{1} (1 − x^{2})^{n} dx

(a) Calcular I_{0}.

(b) Utilizando partes probar que I_{n} = \frac{2n}{2n+1}I_{n−1}, ∀n ≥ 1.

(c) Calcular I_{4}.

15. Sea f una función con derivada segunda continua en [0, π] que cumple ∫_{0}^{π} [f(x) + f′′(x)] cos x dx = 0. Demostrar que f′(π) = −f′(0).

16. Sabiendo que f es continua en [0, 4] y que ∫_{0}^{4} f = 10, calcular ∫_{0}^{2} f (x^{2}) 2x dx.

17. (a) Sea Φ : [0, 1] ⟶ ℝ una función continua. Haciendo la sustitución u = π − x demostrar que

∫_{0}^{π} x Φ(sen x) dx = \frac{π}{2} ∫_{0}^{π} Φ(sen x) dx

(b) Calcular:

∫_{0}^{π} x \frac{sen x}{1 + cos^{2} x} dx ∫_{0}^{π} x sen^{5} x cos^{4} x dx

18. (a) Probar que:

∫_{0}^{1} x^{p} (1 − x)^{q} dx = ∫_{0}^{1} x^{q} (1 − x)^{p} dx = ∫0^{\frac{π}{2}} (sen t)^{2p+1} (cos t)^{2q+1} dt

(b) Calcular:

∫_{0}^{1} x^{2} (1 − x)^{20} dx ∫0^{\frac{π}{2}} (sen t)^{5} (cos t)^{41} dt

19. Calcular las siguientes integrales efectuando las sustituciones que se indican:

∫_{2}^{5} \frac{1}{x\sqrt{x − 1}}dx, x = t^{2} + 1; ∫ \frac{3}{4} \frac{1}{4} \frac{dx}{\sqrt{x(1 − x)}}, x = sen^{2} t;

∫_{0}^{2} \sqrt{\frac{2 − x}{2 + x}} dx, x = 4 sen^{2} t − 2; ∫_{−1}^{0} x^{2} \sqrt{4 + 3x} dx, x = \frac{1}{3}(t^{2} − 4).

20. Calcular:

∫_{−1}^{0} \frac{3x + 2}{x^{2} − 3x + 2} dx, ∫_{4}^{2} \frac{2x^{2} + x + 3}{(x − 1)(x + 1)(x + 2)}, ∫_{2}^{3} \frac{3x^{3} − 3x + 1}{x^{2} − 1} dx.

21. Hallar todas las primitivas de las siguientes funciones:

\frac{3x^{3} − 10x^{2} − x}{(x^{2} − 1)^{2}}  \frac{1 − 5x}{x^{3} − x}  \frac{x^{2}}{x^{2} + 4x + 3}

22. Calcular:

∫ \frac{dx}{x^{2} + 2x + 2} ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 4x + 5)(x^{2} − 4x + 3)} ∫ \frac{xdx}{x^{2} − 4x + 8}

23. (a) Integrando por partes demostrar la siguiente fórmula de recurrencia:

∫ \frac{dx}{(x^{2} + bx + c)^{m}} = \frac{1}{(1 − m)Δ} (\frac{2x + b}{(x^{2} + bx + c)^{m−1}} + (4m − 6) ∫ \frac{dx}{(x^{2} + bx + c)^{m−1}} )

en donde Δ = b^{2} − 4c.

(b) Encontrar las primitivas de las siguientes funciones:

\frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}}  \frac{1}{(x^{2} + x + 3)^{3}}  \frac{2x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} + 3x − 1}{(x^{2} + x + 1)^{2}(x − 1)}