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% Porque es tan chica la hoja ???
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% operadores

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\def\ii{\'{\i}}


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\newcommand{\inte}{\mbox{$^{\!\circ}$}}
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\newcommand{\dem}{{\sc Demostraci\'{o}n.}}
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\newcommand{\gral}{\int_a^x f}
\newcommand{\valo}{[a,b]}
\newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)}
\newcommand{\chiri}{$\spadesuit$}

\begin{document}


\pagestyle{empty}





\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  5 \ \ \ Derivabilidad}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}


\begin{enumerate}
 \item Estudiar la derivabilidad en $a=0$ de $f$, $g$, $f\circ g$ y
$g\circ f$ siendo $f$ y $g$ dadas por
 \[ f(x)=x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
 -4, & {\rm si}\ x\leq 0. \\ |4-x|, & {\rm si}\ x>0.
 \end{array} \right. \]

\item En cada uno de los siguientes casos investigar la
continuidad y la derivabilidad de la funci\'{o}n $f$:
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
e^x, & \ {\rm \ si \ } x<0,
\\ -x^2+x+1, & \ {\rm \ si \ } x\geq 0.
\end{array}
\right.  
\qquad
 f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
-x+1, & \ {\rm \ si \ } x<1,
\\ -x^2+ax+b, & \ {\rm \ si \ } x\geq 1.
\end{array}
\right.  \]

\item
\begin{itemize}
\item[(a)] Encontrar los extremos absolutos de
$f(x)=(x+2)^3(3-x)$ en $[-1,2]$, y de $g(x)=x^3-3x^2+2$ en
$[-1,4]$.
\item[(b)] Durante varias semanas se ha registrado el flujo de tr\'{a}fico m\'{a}s
all\'{a} de cierta salida del centro de Montevideo. Los datos se\~{n}alan
que entre la $1:00$ y las $6:00$ p.m., en un d\'{\i}a normal de la
semana, la velocidad del tr\'{a}fico en la salida es aproximadamente
$V(t)=t^3-10,5\ t^2+30t+20$ kil\'{o}metros por hora, donde $t$ es el
n\'{u}mero de horas despu\'{e}s del mediod\'{\i}a. ?`En qu\'{e} momento entre la
$1:00$ y las $6:00$ p.m. es m\'{a}s r\'{a}pido el tr\'{a}fico y en qu\'{e} momento
es m\'{a}s lento?

\item[(c)] Una f\'{a}brica de cerveza desea construir latas de
forma cil\'{\i}ndrica (cilindro circular recto) que contengan
un volumen $V$ del producto. ?`Qu\'{e} relaci\'{o}n debe haber
entre la altura de la lata y el radio de su base para que se
minimicen los costos debidos al material usado?
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item[(a)]  Demostrar que \ $x\,\left( 1-x\right) \leq
\frac{1}{4}$, \  $\forall x\in \mathbb R$.
\item[(b)]  Sea $\alpha \in \erre$ tal que $0$ $<\alpha <1$.
Demuestra que \ $x^\alpha \leq \alpha \,x+\left( 1-\alpha \right)
,\ \forall x\geq 0$.
\item[(c)]  Sea $a\in \erre$ tal que $a>0$.
?`Es cierto que $e^x>x^a,\ \ \forall x\geq 0$ ?
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item[(a)] Sea $f$ una funci\'{o}n continua en $\valo$ y derivable en
$(a,b)$. Supongamos adem\'{a}s que existe $M>0$ tal que $|f'(x)|\leq
M,\ \forall x\in (a,b)$. \\Demostrar que $|f(x_2)-f(x_1)|\leq
M\ |x_2-x_1|,\ \ \forall x_1,x_2 \in \valo$.
\item[(b)] Demostrar que $|\sen x-\sen y|\leq |x-y|,\ \forall
x,y\in \erre$.
\end{itemize}
\item Consideremos la funci\'{o}n $f:\erre\longrightarrow
\erre$ dada por:
 \[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x^4\sen^2\left(\frac{1}{x}\right)\ , & \ {\rm \ si \ } x\not= 0.
\\ 0, & \ {\rm \ si \ } x=0.
\end{array}
\right.  \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Demostrar que $f$ presenta un m\'{\i}nimo relativo en
$0$.
\item[(b)] Probar que $f'(0)=f''(0)=0$.
\item[(c)] ?`Es $f$ creciente en alg\'{u}n intervalo de la forma
$[0,\delta]$? ?`Es $f$ decreciente en alg\'{u}n intervalo a la
izquierda de $0$?
\end{itemize}



\item {\bf Propiedad de Darboux para la derivada y
consecuencias}\\ En todo este ejercicio, $f$ es una funci\'{o}n
derivable en todos los puntos de un intervalo abierto $I$ (no se
supondr\'{a} que $f'$ sea continua).
\begin{itemize}
\item[(a)] Sean $a$ y $b$ dos puntos de $I$ con
$a<b$. Demostrar que si $f'(a)<\mu
<f'(b)$ entonces existe alg\'{u}n punto $c\in (a,b)$ tal que
$f'(c)=\mu $. (Sugerencia: probar que la funci\'{o}n $\varphi
(x)=f(x)-\mu x$ tiene un m\'{\i}nimo en $(a,b)$). Este resultado est\'{a}
diciendo que la funci\'{o}n derivada, aun no siendo continua, tiene la
propiedad de Darboux.
\item[(b)]  Demostrar que si $f'$ no tiene
ceros entonces $f$ es mon\'{o}tona.
\item[(c)]  Sea $x_0\in I$. Demostrar que si existe
$\lim_{x\rightarrow x_0^+} \:f'(x)\: $ entonces \
$\lim_{x\rightarrow x_0^+} \:f'(x)\:=\:f'(x_0)$.
\item[(d)] $f'$ NO
puede tener discontinuidades de primera especie en $I$. O sea, si
$x_0$ es un punto de discontinuidad de $f'$ entonces no pueden
existir al mismo tiempo sus l\'{\i}mites laterales en $x_0$. (Un
ejemplo de una funci\'{o}n derivable con derivada no continua lo
encuentras en el ejercicio 4 de este mismo repartido. Observar
que, en ese caso, la discontinuidad de $f'$ es de ``segunda
especie").
\end{itemize}


\item Sea $f:[-1,2]\rightarrow R$ tal que
$f(x)=1+x+\log|x+2|$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Hallar $f([-1,2])$ justificando la
respuesta.
\item[(b)] Probar que $f:[-1,2]\rightarrow f([-1,2])$
es invertible.
\item[(c)] Calcular $(f^{-1})'(1+\log 2)$.
\end{itemize}


\item
 Aplicando la f\'{o}rmula de la derivada de la
funci\'{o}n inversa deducir que la derivada de $\sqrt{x}$ es
$\frac{1}{2\ \sqrt{x}}$ ($x>0$).

\item Demostrar la siguiente identidad:
\[\Arctg(x)+\Arctg\left( \frac{1}{x} \right) =
\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi }{2}, & {\rm si},\ x>0. \\
-\frac{\pi }{2}, & {\rm si},\ x<0.
\end{array} \right.  \ \ \ \ \ \ \]
\item
Consideremos las funciones definidas en todo $\mathbb R$ por:
\[ \sh\;x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ \ \ \ \ \ \
\ch\; x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \tangh\;x=\frac{\sh\;
x}{\ch\;x} \] Estas funciones se llaman \emph{seno hiperb\'{o}lico},
\emph{coseno hiperb\'{o}lico} y \emph{tangente hi\-per\-b\'{o}\-li\-ca} respectivamente.
En este ejercicio te pedimos que pruebes las siguientes relaciones
y afirmaciones:
\begin{itemize}
\item[(a)] $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1,\ \ \sh'(x)=\ch(x), \ \ \ch'(x)=\sh(x),\ \
\tangh'(x)=1-\tangh^2(x)=\frac{1}{\ch^2(x)}\ \ \ \forall x\in \erre.$
\item[(b)] Las funciones $\sh:\erre \rightarrow \erre \ \ \
\ch:[0,+\infty) \rightarrow [1,+\infty) \ \ \ \tangh:\erre \rightarrow
(-1,1)$  \ tienen sendas funciones inversas que se simbolizan
$\Argsh,\ \Argch,\ $ y $\Argth$ respectivamente.
\item[(c)] $\Argsh'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ \ \forall x\in \erre$,
\ \ \ $\Argch'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \forall x>1$,
\ \ \ $\Argth'(x)=\frac{1}{1-x^2}\ \ \forall x\in
(-1,1)$.
\item[(d)] Graficar las funciones hiperb\'{o}licas y sus
inversas.
\end{itemize}


\end{enumerate}
\end{document}