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% Porque es tan chica la hoja ???
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% operadores

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\def\ii{\'{\i}}


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\begin{document}


\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
{\bf Pr\'{a}ctico  \  4\ \ \  L\'{\i}mites de funciones, continuidad}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}


\vskip2mm\noindent{\bf 1.}
Dada $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, demostrar:
\begin{itemize}
\item[\rm (a)]
$f(x)\to+\infty\ (x\to+\infty)\quad \Leftrightarrow\quad \forall (x_n)\colon x_n\to+\infty$ se tiene $f(x_n)\to+\infty$.
\item[\rm (b)]
$f(x)\to+\infty\ (x\to a)\quad \Leftrightarrow\quad \forall (x_n)\colon x_n\neq a\ \forall n, x_n\to a$ se tiene $f(x_n)\to+\infty$.
\item[\rm (c)]
$f(x)\to+\infty\ (x\to a+)\quad \Leftrightarrow\quad \forall (x_n)\colon x_n> a\ \forall n, x_n\to a$ 
se tiene $f(x_n)\to+\infty$. ?`Como se enuncia este resultado si $x\to a-$?
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 2.}
Sea $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ mon\'otona. Probar
que si existe una sucesi\'on $(x_n)$ con $x_n >a$ tal que
$\lim x_n=a$ y $\lim f(x_n)=L$ entonces $\lim_{x \to a+}f(x)=L$. Enunciar y probar un resultado an\'alogo para el
l\'{\i}mite cuando $x\rightarrow a-$.

\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
Sean $f\colon\erre\to\erre$ y $g\colon\erre\to\erre$. 
Considerando l\ii mites cuando $x\to a$, 
demostrar:
\begin{itemize}
\item[\rm (a)]
Si $f(x)\to+\infty$ y  $g(x)\to L$, entonces $f(x)+g(x)\to+\infty$.
?`Que ocurre si $g(x)$ es acotada en un entorno de $a$?
\item[\rm (b)]
Si $f(x)\to+\infty$ y  $g(x)\to L>0$, entonces $f(x)g(x)\to+\infty$.
?`Que ocurre si $g(x)\to L<0$?
\item[\rm (c)]
Si $f(x)\to L\ (x\to a)$ y  $g(x)\to+\infty\ (x\to a)$, entonces $f(x)/g(x)\to 0\ (x\to a)$.
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 4.}
\emph{L\ii mites indeterminados (I).}
Encontrar dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tales que $f(x)\to+\infty\ (x\to a)$
$g(x)\to+\infty\ (x\to a)$, y se verifique
\begin{itemize}
\item[\rm (a)] $f(x)-g(x)\to+\infty\ (x\to a)$
\item[\rm (b)] $f(x)-g(x)\to-\infty\ (x\to a)$
\item[\rm (c)] $f(x)-g(x)\to L\ (x\to a)$
\item[\rm (d)] $f(x)-g(x)$ no tiene l\ii mite cuando  $x\to a$.
\end{itemize}
\vskip2mm\noindent{\bf 5.}
\emph{L\ii mites indeterminados (II).}
(a) Encontrar dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tales que $f(x)\to+\infty\ (x\to a)$
$g(x)\to 0\ (x\to a)$, y se verifique
\begin{itemize}
\item[\rm (i)] $f(x)g(x)\to L\ (x\to a)$
\item[\rm (ii)] $f(x)g(x)\to 0\ (x\to a)$
\item[\rm (iii)] $f(x)g(x)\to +\infty\ (x\to a)$
\end{itemize}
\vskip1mm\noindent
(b) Dado $L>0$ encontrar dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ tales que se verifique 
$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$, 
y adem\'as $\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}=L$.


\vskip2mm\noindent{\bf 6.}
\emph{L\ii mites ``tipo'' trigonom\'etricos.}
Calcular los siguientes l\ii mites, cuando $x\to 0$:
\begin{equation*}
\lim{\sen x\over x},
\qquad
\lim{1-\cos x\over x^2}, 
\end{equation*}
Sugerencia: Recordar, para el primer l\ii mite, que $\sen x<x<\tg x$, si $0<x<\pi/2$, y que $\tg x<x<\sen x$, si 
$-\pi/2<x<0$; para el segundo, $\sen^2 x={1-\cos 2x\over 2}$
\vskip2mm\noindent{\bf 7.}
\emph{L\ii mites ``tipo'' exponenciales y logar\ii timicos.}
Asumiendo sabido que $\lim (e^{a_n}-1)/a_n=1$ para toda sucesi\'on $(a_n)$ tal que $a_n\to 0$, 
calcular los siguientes l\ii mites, cuando $x\to 0$:
\begin{equation*}
\lim {e^x-1\over x},
\qquad
\lim {\log(1+x)\over x}.
\end{equation*}

\vskip2mm\noindent{\bf 8.}
(a) Demostrar que si $f$ es continua en $x_0$ y $g$ es
discontinua en $x_0$ entonces $f+g$ es discontinua en $x_0$. ?`Qu\'{e}
sucede si ambas funciones son discontinuas en $x_0$?
\vskip1mm\noindent
(b) ?`Qu\'{e} ocurre si se trata del producto $f\times g$ en lugar de
la suma?
\vskip1mm\noindent
(c) Sean $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ \ y \
$g:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$
 \ las funciones definidas por:
 \[ f(x)=x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
 -4, & {\rm si}\ x\leq 0. \\ |4-x|, & {\rm si}\ x>0.
 \end{array} \right. \]
 Estudiar la continuidad en $0$ de $f$, $g$, $f\circ g$ \ y \ $g\circ f$.
\vskip1mm\noindent
(d)
Encontrar dos funciones $F$ y $G$ tales que $F$ sea
discontinua en $x_0$, $G$  discontinua en $F(x_0)$ \ y que $G\circ F$
sea continua en $x_0$.



\vskip2mm\noindent{\bf 9.}
\emph{Un teorema sobre puntos fijos.} 
Sea $f$ una funci\'{o}n continua en
$[0,1]$ tal que $f(x)\in [0,1], \ \forall x\in [0,1]$.
Demostrar que $f$ tiene alg\'{u}n punto fijo en el intervalo
$[0,1]$, es decir: existe al menos un punto
$c\in [0,1]$ tal que $f(c)=c$.  Sugerencia:  aplicar el
teorema de Bolzano-Darboux a la funci\'{o}n $\Phi :[0,1]\rightarrow
\mathbb R$ dada por $\Phi(x)=x-f(x)$.

\vskip2mm\noindent{\bf 10.}
Sea $f: [a , +\infty) \rightarrow \mathbb R$ acotada. Para cada
$t \geq a$ definimos $M_t = \sup_{x \in [t, +\infty)}f(x)$,
 $m_t = \inf_{x \in [t, +\infty)}f(x)$ y $w_t = M_t - m_t$ a
quien le llamaremos la oscilaci\'on de $f$ en $[t, +\infty)$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que existen $\lim_{t \rightarrow
+\infty}M_t$ y $\lim_{t
\rightarrow +\infty}m_t$. 
\item[(b)] Probar que existe
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)  $ si y s\'olo si
$\lim_{t\rightarrow +\infty}w_t=0  $.
\end{itemize}


\vskip2mm\noindent{\bf 11.}
(a)
Sea $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$
continua, tal que existen y son finitos los dos l\ii mites $\lim_{x \rightarrow +
\infty}f(x)$ y
$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x)$ . Probar que $f$ es
uniformemente continua.
\vskip1mm\noindent
(b)
Investigar continuidad uniforme para   $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$
dada por $f(x)=\frac {\sen(x^2)}{x^2}$.
\vskip1mm\noindent
(c)
Idem para $f(x) =\sen (x^2)$.


\vskip2mm\noindent{\bf 12.}
Sean $f,g: I \rightarrow \mathbb R$ uniformemente continuas
($I$ es un intervalo). 
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que $\alpha f + \beta g$ son uniformemente
continuas, cualesquiera sean las constantes $\alpha $ y $\beta$.
\item[(b)] Probar que si adem\'as $f$ y $g$ son acotadas,
entonces $f\times g$ es uniformemente continua.
\item[(c)] Probar que las funciones $\phi (x) = \max \{f(x),
g(x)\}$ y $\psi (x) = \min \{f(x),
g(x)\}$ son uniformemente continuas.
\end{itemize}





\end{document}