Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 4 Límites de funciones, continuidad

1. Dada f : ℝ → ℝ, demostrar:

(a) f(x) → +∞ (x → +∞) ⇔ ∀(x_{n}): x_{n} → +∞ se tiene f(x_{n}) → +∞.

(b) f(x) → +∞ (x → a) ⇔ ∀(x_{n}): x_{n} ≠ a ∀n, x_{n} → a se tiene f(x_{n}) → +∞.

(c) f(x) → +∞ (x → a+) ⇔ ∀(x_{n}): x_{n} > a ∀n, x_{n} → a se tiene f(x_{n}) → +∞. ¿Como se enuncia este resultado si x → a−?

2. Sea f : ℝ → ℝ monótona. Probar que si existe una sucesión (x_{n}) con x_{n} > a tal que lim x_{n} = a y lim f(x_{n}) = L entonces lim_{x→a+} f(x) = L. Enunciar y probar un resultado análogo para el límite cuando x → a−.

3. Sean f: ℝ → ℝ y g: ℝ → ℝ. Considerando límites cuando x → a, demostrar:

(a) Si f(x) → +∞ y g(x) → L, entonces f(x) + g(x) → +∞. ¿Que ocurre si g(x) es acotada en un entorno de a?

(b) Si f(x) → +∞ y g(x) → L > 0, entonces f(x)g(x) → +∞. ¿Que ocurre si g(x) → L < 0?

(c) Si f(x) → L (x → a) y g(x) → +∞ (x → a), entonces f(x)/g(x) → 0 (x → a).

4. Límites indeterminados (I). Encontrar dos funciones f(x) y g(x) tales que f(x) → +∞ (x → a) g(x) → +∞ (x → a), y se verifique

(a) f(x) − g(x) → +∞ (x → a)

(b) f(x) − g(x) → −∞ (x → a)

(c) f(x) − g(x) → L (x → a)

(d) f(x) − g(x) no tiene límite cuando x → a.

5. Límites indeterminados (II). (a) Encontrar dos funciones f(x) y g(x) tales que f(x) → +∞ (x → a) g(x) → 0 (x → a), y se verifique

(i) f(x)g(x) → L (x → a)

(ii) f(x)g(x) → 0 (x → a)

(iii) f(x)g(x) → +∞ (x → a)

(b) Dado L > 0 encontrar dos funciones f(x) y g(x) tales que se verifique lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) = 0, y además lim_{x→a} f(x)^{g(x)} = L.

6. Límites “tipo” trigonométricos. Calcular los siguientes límites, cuando x → 0:

lim \frac{sen x}{x}, lim \frac{1 − cos x}{x^{2}},

Sugerencia: Recordar, para el primer límite, que sen x < x < tg x, si 0 < x < π/2, y que tg x < x < sen x, si −π/2 < x < 0; para el segundo, sen^{2} x = \frac{1−cos 2x}{2}

7. Límites “tipo” exponenciales y logarítimicos. Asumiendo sabido que lim(e^{a_{n}} − 1)/a_{n} = 1 para toda sucesión (a_{n}) tal que a_{n} → 0, calcular los siguientes límites, cuando x → 0:

lim \frac{e^{x} − 1}{x}, lim \frac{log(1 + x)}{x}.

8. (a) Demostrar que si f es continua en x_{0} y g es discontinua en x_{0} entonces f + g es discontinua en x_{0}. ¿Qué sucede si ambas funciones son discontinuas en x_{0}?

(b) ¿Qué ocurre si se trata del producto f × g en lugar de la suma?

(c) Sean f : ℝ ⟶ ℝ y g : ℝ ⟶ ℝ las funciones definidas por:

f(x) = x^{2} g(x) = \{ \begin{matrix}−4, & si x ≤ 0. \\ |4 − x|, & si x > 0. \end{matrix}

Estudiar la continuidad en 0 de f, g, f ∘ g y g ∘ f.

(d) Encontrar dos funciones F y G tales que F sea discontinua en x_{0}, G discontinua en F (x_{0}) y que G ∘ F sea continua en x_{0}.

9. Un teorema sobre puntos fijos. Sea f una función continua en [0, 1] tal que f(x) ∈ [0, 1], ∀x ∈ [0, 1]. Demostrar que f tiene algún punto fijo en el intervalo [0, 1], es decir: existe al menos un punto c ∈ [0, 1] tal que f(c) = c. Sugerencia: aplicar el teorema de Bolzano-Darboux a la función Φ : [0, 1] → ℝ dada por Φ(x) = x − f(x).

10. Sea f : [a, +∞) → ℝ acotada. Para cada t ≥ a definimos M_{t} = sup_{x∈[t,+∞)} f(x), m_{t} = inf_{x∈[t,+∞)} f(x) y w_{t} = M_{t} − m_{t} a quien le llamaremos la oscilación de f en [t, +∞).

(a) Probar que existen lim_{t→+∞} M_{t} y lim_{t→+∞} m_{t}.

(b) Probar que existe lim_{x→+∞} f(x) si y sólo si lim_{t→+∞} w_{t} = 0.

11. (a) Sea f : ℝ → ℝ continua, tal que existen y son finitos los dos límites lim_{x→+∞} f(x) y lim_{x→−∞} f(x) . Probar que f es uniformemente continua.

(b) Investigar continuidad uniforme para f : ℝ → ℝ dada por f(x) = \frac{sen(x^{2})}{x^{2}}.

(c) Idem para f(x) = sen(x^{2}).

12. Sean f, g : I → ℝ uniformemente continuas (I es un intervalo).

(a) Probar que αf +βg son uniformemente continuas, cualesquiera sean las constantes α y β.

(b) Probar que si además f y g son acotadas, entonces f×g es uniformemente continua.

(c) Probar que las funciones ϕ(x) = max{f(x), g(x)} y ψ(x) = min{f(x), g(x)} son uniformemente continuas.