\documentclass[11pt]{article}

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% Porque es tan chica la hoja ???
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% operadores

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\def\ii{\'{\i}}


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\begin{document}








\noindent
\begin{center}
Facultad de Ciencias. 
Centro de Matem\'{a}tica. 
C\'{a}lculo I (2003)
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  3    \  \ Series}
\end{Large}
\end{center}


\noindent
{\bf 1.}  Consideremos una sucesi\'on  $(a_n)_{n\geq 1}$ de la cual se sabe que
 \[ A_n=a_1+a_2+\ .\ .\ .\
.+a_n\ =\ \frac{2n+1}{n+3} \ \ \ \ \ \ \ \ (n\geq 1). \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Clasificar la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ y, en
caso de convergencia, calcular su suma.
\item[(b)] Calcular $a_1$ y determinar $a_n$ para cada $n\geq
2$.
\end{itemize}

\vskip2mm\noindent{\bf 2.} En cada uno de los siguientes casos clasificar $\sum a_n$:
\[ a_n=\coseno(1/n) \ \ \  \ \ \ \ \
a_n=\frac{1}{2^n}+e^n  \ \ \ \ \ \ \ \ a_n=\frac{2n+1}{n^2(3n+5)}
\ \ \ \ \ \ \ \ a_n=\frac{n^3-1}{3n^3+2n^2-4n-9}  \]

\vskip2mm\noindent{\bf 3.}
Clasificar las siguientes series y, en caso de convergencia,
encontrar la suma de las mismas.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \ \qquad \
 \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{5}{4}\right)^{n-1} \ \qquad \
  \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n} \]






\vskip2mm\noindent{\bf 4.}
Clasificar las siguientes series y, en caso de convergencia,
encontrar la suma de las mismas.
\[  \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)
\ \qquad \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} \ \qquad \
 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+3^n}{6^n}
\ \qquad \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^{n-1}}
\]

\vskip2mm\noindent{\bf 5.} En cada uno de los siguientes casos,  
dada una sucesi\'{o}n $(a_n)_{n\geq 1}$,  se  pide:
\begin{itemize}
\item[(a)] Encontrar una expresi\'{o}n para $A_n=a_1+a_2+\ .\ .\ .\
.+a_n$
\item[(b)] Calcular $\lim A_n$ (en caso de que exista).
\item[(c)] Clasificar la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ y, en
caso de convergencia, calcular su suma.
\end{itemize}
\[ a_n=n \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_n=\logaritmo\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right) \]



\vskip2mm\noindent{\bf 6.} Sean $(a_n)$, $(b_n)$ y $(c_n)$ sucesiones tales que:
$0<b_n<a_n<1,\ \forall n\geq 1$,\ \ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
converge, y $c_n=\frac{1-a_n}{1+b_n}$. Clasificar:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty} c_n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\sum_{n=1}^{\infty} (1-c_n) \]

\vskip2mm\noindent{\bf 7.} Sabiendo que $a_n>0$ y que $\sum a_n$ converge, clasificar
las siguientes series o mostrar con ejemplos que no es posible
afirmar nada acerca de su convergencia.
\[ \sum \frac{1}{a_n} \ \ \ \ \ \ \ \ \sum a_n^2 \ \ \ \ \ \ \ \
\sum \sqrt{a_n} \ \ \ \ \ \ \ \ \sum \logaritmo(1+a_n) \]



\vskip2mm\noindent{\bf 8.} En cada uno de los siguientes casos clasificar $\sum a_n$ $(\al \in \mathbb R)$:
 \[ a_n=\log\left( 1+\frac{1}{n^3} \right) \ \ \ \ \ \ \ \
 a_n=e^{1/n^2}-1 \ \ \ \ \ \ \ \ a_n=\frac{(\sen n)^2}{n^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{2-\coseno(1/n)}{n^{\al}}.
\]

\[ a_n=\left( \frac{2n-1}{5n+8} \right)^n \ \ \ \ \ \ \ \
a_n=\left( \frac{n+1}{n} \right)^n \ \ \ \ \ \ \ \
a_n=n^qe^{-\gamma n} \ \ (q\in \mathbb R,\ \gamma >0) \]
\[ a_n=\frac{2^n}{n^n}\ \ \ \ \ \ \ \  a_n=\frac{2^n\ n!}{n^n}
\ \ \ \ \ \ \ \  a_n=\frac{3^n\ n!}{n^n}  \ \ \ \ \ \ \ \
a_n=\frac{n!}{n^n}  \ \ \ \ \ \ \ \  a_n=\frac{n!}{(2n)!} \]


\vskip2mm\noindent{\bf 9.} Si $a_n \leq b_n \leq c_n$ $\forall n$  \  $\sum a_n$ y
$\sum c_n
$ convergen, probar que $\sum b_n$ tambi\'en converge y
adem\'as 
\[\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \leq \sum_{n=1}^{+\infty}
b_n \leq \sum_{n=1}^{+\infty} c_n \]

\vskip2mm\noindent{\bf 10.} Probar que las siguientes series son absolutamente
convergentes y encontrar cotas (inferiores y superiores) de sus
sumas.
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen n}{n^3}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^n}{2^n}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{1-2\sen(1/n)}{n^3} \]

\vskip2mm\noindent{\bf 11.} Clasificar las series de t\'{e}rmino general:
\[ \frac{(-1)^n}{n\log n} \ \qquad \  (-1)^n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)
 \ \qquad \
(-1)^n\ \left(1-n\sen(1/n)\right) \  \]

\vskip2mm\noindent{\bf 12.} (a) Sea $(a_n)$ una sucesi\'on mon\'otona no decreciente con l\ii mite $+\infty$.
Clasificar $\sum (-1)^n/a_n$. 
\vskip1mm\noindent
(b) Sea $b_n=a_n+(-1)^n$. Estudiar el comportamiento de las sucesiones $(b_n)$ y $(a_n/b_n)$ cuando $n\to\infty$.
\vskip1mm\noindent
(c) Sea ahora $a_n=\log n$. Demostrar que $\sum (-1)^n/b_n$ no es convergente.
Explicar por que no se puede aplicar el criterio del equivalente.
\vskip1mm\noindent
(d) Encontrar dos sucesiones $(a_n)$ tales que, en el primer caso $\sum (-1)^n/a_n$
y $\sum (-1)^n/b_n$
sean ambas convergentes, y en el seguno, sea convergente una sola de las series.


\vskip2mm\noindent{\bf 13.} Si $\sum a_n$ es absolutamente convergente, probar que
$\sum a_n^2 $ es convergente. ?`Que ocurre si $\sum a_n$ es condicionalmente convergente?

\vskip2mm\noindent{\bf 14.} Si $\sum a_n^2$ y  $\sum b_n^2$ son convergentes, probar
que  $\sum a_n b_n$ tambi\'en es convergente.

\vskip2mm\noindent{\bf 15.} Si $\sum a_n$ es absolutamente convergente y $\lim b_n =0$ definimos
$c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$. Probar que $\lim c_n =0$. ?`Que ocurre si $\sum a_n$ es condicionalmente 
convergente?

\vskip2mm\noindent{\bf 16.} {\bf Criterios de Abel y Dirichlet. } Sean $( a_k )$ y
$( b_k ) $ sucesiones de reales y $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$,
$B_n = \sum_{k=1}^n b_k $.
\begin{enumerate}
\item Probar que $\sum_{k=1}^n a_k b_k =\sum_{k=1}^n A_k ( b_k
-b_{k+1} ) +A_n b_{n+1}.$ (F\'{o}rmula de Abel)
\item Probar el criterio de Dirichlet: si $A_n $ es acotada y
$b_n $ decrece a 0, entonces $\sum a_n b_n $ converge.
\item Probar el criterio de Abel: si $\sum a_n $ converge y
$b_n $  es mon\'{o}tona convergente, entonces $\sum a_n b_n $
converge.
\item Clasificar las series 
$\sum\sen(na)/n $ y $\sum\coseno(na)/n\ (a \in \mathbb{R})$, asumiendo que las sumas 
$\sum_{k=1}^n\sen(na) $ y $ \sum_{k=1}^n \coseno(na) $ son uniformememnte acotadas en $n$
$\forall a \neq 0$. (Esto se puede demostrar utilizando n\'umeros complejos:
$e^{x+iy}=  e^x (\coseno y + i\sen y)$  y relacionar $\sen(na)$ y
$\coseno(na)$ con $e^{ina}$ y $e^{-ina}$).
\end{enumerate}

\vskip2mm\noindent{\bf 17.} Clasificar las series:
\[
\sum \frac{(-1)^n \log n}{n^{\alpha}},
\qquad
\sum
\frac{(-1)^n }{n+(-1)^n },
\qquad
\sum \frac{(-1)^n (n+\log n)}{n^2}.
\]


\vskip2mm\noindent{\bf 18.} {\bf Criterio de Raabe.} Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones
positivas. Sea $$ c_n=b_n-{b_{n+1}a_{n+1}\over a_n}. $$
\begin{enumerate}
\item \label{a} Probar que si existe $r>0$ tal que $c_n\ge r$
para todo $n\ge N$, entonces $\sum a_n$ converge.
(\textit{Sugerencia:} prueba que
$\sum_{k=N}^na_k \le a_Nb_N/r$.)
\item \label{b} Probar que si $c_n\le 0$ para $n\ge N$ y $\sum
1/b_n$ diverge, entonces $\sum a_n$ diverge.
\item Aplicar (a) y (b) con $b_n=n-1$ para deducir el criterio
de Raabe:
\begin{enumerate}
\item Si existen $r>0$ y $N\ge 1$ tal que
$${a_{n+1}\over a_n}\le 1-{1\over n}-{r\over n}$$ para todo $n\ge
N$, entonces $\sum a_n$ converge.
\item Si $a_{n+1}/a_n\ge 1-1/n$ para todo $n\ge N$, entonces $\sum a_n$
diverge.
\item Encontrar una ``versi\'{o}n" del criterio de Raabe con
``paso al l\'{\i}mite". Clasificar \
\[ \sum \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \qquad \qquad \sum \frac{e^n\ n!}{n^n} \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

