Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Cálculo I (2003)

Práctico 3 Series

1. Consideremos una sucesión (a_{n})_{n≥1} de la cual se sabe que

A_{n} = a_{1} + a_{2} + …. + a_{n} = \frac{2n + 1}{n + 3} (n ≥ 1).

(a) Clasificar la serie ∑_{n=1}^{∞} a_{n} y, en caso de convergencia, calcular su suma.

(b) Calcular a_{1} y determinar a_{n} para cada n ≥ 2.

2. En cada uno de los siguientes casos clasificar ∑ a_{n}:

a_{n} = cos(1/n)  a_{n} = \frac{1}{2^{n}} + e^{n}  a_{n} = \frac{2n + 1}{n^{2}(3n + 5)}  a_{n} = \frac{n^{3} − 1}{3n^{3} + 2n^{2} − 4n − 9}

3. Clasificar las siguientes series y, en caso de convergencia, encontrar la suma de las mismas.

∑_{n=1}^{∞} (\frac{2}{3})^{n−1}  ∑_{n=1}^{∞} (−\frac{5}{4})^{n−1}  ∑_{n=0}^{∞} e^{−n}

4. Clasificar las siguientes series y, en caso de convergencia, encontrar la suma de las mismas.

∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{n^{2}} − \frac{1}{(n + 1)^{2}} )  ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{\sqrt{n^{2} + n}}  ∑_{n=0}^{∞} \frac{2^{n} + 3^{n}}{6^{n}}  ∑_{n=0}^{∞} \frac{2^{n} + 1}{3^{n−1}}

5. En cada uno de los siguientes casos, dada una sucesión (a_{n})_{n≥1}, se pide:

(a) Encontrar una expresión para A_{n} = a_{1} + a_{2} + …. + a_{n}

(b) Calcular lim A_{n} (en caso de que exista).

(c) Clasificar la serie ∑_{n=1}^{∞} a_{n} y, en caso de convergencia, calcular su suma.

a_{n} = n a_{n} = log (1 + \frac{(−1)^{n+1}}{n} )

6. Sean (a_{n}), (b_{n}) y (c_{n}) sucesiones tales que: 0 < b_{n} < a_{n} < 1, ∀n ≥ 1, ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge, y c_{n} = \frac{1−a_{n}}{1+b_{n}}. Clasificar:

∑_{n=1}^{∞} b_{n}  ∑_{n=1}^{∞} c_{n}  ∑_{n=1}^{∞}(1 − c_{n})

7. Sabiendo que a_{n} > 0 y que ∑ a_{n} converge, clasificar las siguientes series o mostrar con ejemplos que no es posible afirmar nada acerca de su convergencia.

∑ \frac{1}{a_{n}}  ∑ a_{n}^{2}  ∑ \sqrt{a_{n}}  ∑ log(1 + a_{n})

8. En cada uno de los siguientes casos clasificar ∑ a_{n} (α ∈ ℝ):

a_{n} = log (1 + \frac{1}{n^{3}} )  a_{n} = e^{1/n^{2}} − 1  a_{n} = \frac{(sen n)^{2}}{n^{2}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{2 − cos(1/n)}{n^{α}}.

a_{n} = (\frac{2n − 1}{5n + 8})^{n}  a_{n} = (\frac{n + 1}{n})^{n}  a_{n} = n^{q}e^{−γn} (q ∈ ℝ, γ > 0)

a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{n}}  a_{n} = \frac{2^{n} n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{3^{n} n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{n!}{(2n)!}

9. Si a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} ∀n ∑ a_{n} y ∑ c_{n} convergen, probar que ∑ b_{n} también converge y además

∑_{n=1}^{+∞} a_{n} ≤ ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} ≤ ∑_{n=1}^{+∞} c_{n}

10. Probar que las siguientes series son absolutamente convergentes y encontrar cotas (inferiores y superiores) de sus sumas.

∑_{n=1}^{∞} \frac{sen n}{n^{3}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{2 + (−1)^{n}}{2^{n}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 − 2 sen(1/n)}{n^{3}}

11. Clasificar las series de término general:

\frac{(−1)^{n}}{n log n}  (−1)^{n} log (1 + \frac{1}{n})  (−1)^{n} (1 − n sen(1/n))

12. (a) Sea (a_{n}) una sucesión monótona no decreciente con límite +∞. Clasificar ∑(−1)^{n}/a_{n}.

(b) Sea b_{n} = a_{n} + (−1)^{n}. Estudiar el comportamiento de las sucesiones (b_{n}) y (a_{n}/b_{n}) cuando n → ∞.

(c) Sea ahora a_{n} = log n. Demostrar que ∑(−1)^{n}/b_{n} no es convergente. Explicar por que no se puede aplicar el criterio del equivalente.

(d) Encontrar dos sucesiones (a_{n}) tales que, en el primer caso ∑(−1)^{n}/a_{n} y ∑(−1)^{n}/b_{n} sean ambas convergentes, y en el seguno, sea convergente una sola de las series.

13. Si ∑ a_{n} es absolutamente convergente, probar que ∑ a_{n}^{2} es convergente. ¿Que ocurre si ∑ a_{n} es condicionalmente convergente?

14. Si ∑ a_{n}^{2} y ∑ b_{n}^{2} son convergentes, probar que ∑ a_{n}b_{n} también es convergente.

15. Si ∑ a_{n} es absolutamente convergente y lim b_{n} = 0 definimos c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}. Probar que lim c_{n} = 0. ¿Que ocurre si ∑ a_{n} es condicionalmente convergente?

16. Criterios de Abel y Dirichlet. Sean (a_{k}) y (b_{k}) sucesiones de reales y A_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, B_{n} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}.

1. Probar que ∑_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} = ∑_{k=1}^{n} A_{k}(b_{k} − b_{k+1}) + A_{n}b_{n+1}. (Fórmula de Abel)

2. Probar el criterio de Dirichlet: si A_{n} es acotada y b_{n} decrece a 0, entonces ∑ a_{n}b_{n} converge.

3. Probar el criterio de Abel: si ∑ a_{n} converge y b_{n} es monótona convergente, entonces ∑ a_{n}b_{n} converge.

4. Clasificar las series ∑ sen(na)/n y ∑ cos(na)/n (a ∈ ℝ), asumiendo que las sumas ∑_{k=1}^{n} sen(na) y ∑_{k=1}^{n} cos(na) son uniformememnte acotadas en n ∀a ≠ 0. (Esto se puede demostrar utilizando números complejos: e^{x+iy} = e^{x}(cos y + i sen y) y relacionar sen(na) y cos(na) con e^{ina} y e^{−ina}).

17. Clasificar las series:

∑ \frac{(−1)^{n} log n}{n^{α}},  ∑ \frac{(−1)^{n}}{n + (−1)^{n}} ,  ∑ \frac{(−1)^{n}(n + log n)}{n^{2}}.

18. Criterio de Raabe. Sean (a_{n}) y (b_{n}) dos sucesiones positivas. Sea

c_{n} = b_{n} − \frac{b_{n+1}a_{n+1}}{a_{n}} .

1. Probar que si existe r > 0 tal que c_{n} ≥ r para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} converge. (Sugerencia: prueba que ∑_{k=N}^{n} a_{k} ≤ a_{N}b_{N}/r.)

2. Probar que si c_{n} ≤ 0 para n ≥ N y ∑ 1/b_{n} diverge, entonces ∑ a_{n} diverge.

3. Aplicar (a) y (b) con b_{n} = n − 1 para deducir el criterio de Raabe:

(a) Si existen r > 0 y N ≥ 1 tal que

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ 1 − \frac{1}{n} − \frac{r}{n}

para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} converge.

(b) Si a_{n+1}/a_{n} ≥ 1 − 1/n para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} diverge.

(c) Encontrar una “versión” del criterio de Raabe con “paso al límite”. Clasificar

∑ \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!}  ∑ \frac{e^{n} n!}{n^{n}}