\documentclass[11pt]{article}

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\begin{document}


\pagestyle{empty}





\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  2 \ \ \ Sucesiones}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}



\begin{enumerate}



\item Consideremos la sucesi\'{o}n $(a_n)_{n\geq 0}$ definida por:
\[ a_0=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\ \ \forall n\geq 0. \] Demostrar que
$(a_n)$ es mon\'{o}tona creciente y que est\'{a} acotada
su\-pe\-rior\-mente. Deducir que converge y calcular su l\'{\i}mite.

\esp

\item Consideremos la sucesi\'{o}n $(a_n)_{n\geq 0}$ definida por:
\[ a_0=\sqrt{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
a_{n+1}=\sqrt{3a_n},\ \ \forall n\geq 0. \] Demostrar que
$(a_n)$ es mon\'{o}tona creciente y que est\'{a} acotada
superiormente. Deducir que converge y calcular su l\'{\i}mite.

\esp

\item Consideremos la sucesi\'{o}n $(x_n)_{n\geq 0}$ definida por:
\[ x_0=a>0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
x_{n+1}=\sqrt{2x_n^2+1},\ \ \forall n\geq 0. \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Demostrar que es creciente pero que no tiene
l\'{\i}mite finito.
\item[(b)] Calcular $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}$
\item[(c)] Para $a=0$ encontrar una f\'{o}rmula expl\'{\i}cita
para $x_n$.
\end{itemize}

\item Dado un n\'{u}mero $\lambda >0$ consideremos
la sucesi\'{o}n $(x_n)_{n\in N}$ dada por:
\[ x_{n+1}=\frac{1}{2} \left( x_n+\frac{\lambda}{x_n}
\right), \ \  \ \forall n\geq 0, \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \
x_0>\sqrt{\lambda} \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que $(x_n)$ es decreciente y que
est\'{a} acotada inferiormente por $\sqrt{\lambda}$. Deducir que
converge y probar que su l\'{\i}mite es $\sqrt{\lambda}$.
\item[(b)] Sea \ $\epsilon _n=x_n-\sqrt{\lambda}$. \
Mostrar que:
\[ \epsilon_{n+1}=\frac{\epsilon_n^2}{2\ x_n} \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \epsilon_{n+1}< 2\ \sqrt{\lambda} \
\left( \frac{\epsilon_1}{2\sqrt{\lambda}} \right)^{2^n}, \ \ \ \ \
\forall n\geq 0 \]
\item[(c)] Usando lo anterior y admitiendo que
$\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} < \frac{1}{10}$, calcular
$\sqrt{3}$ con un error menor que $10^{-7}$.
\end{itemize}

\item Consideremos la sucesi\'{o}n $(x_n)_{n\geq 0}$ definida por:
\[ x_0=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
x_{n+1}=\frac{6+x_n}{6-x_n},\ \ \forall n\geq 0. \] Demostrar
que converge y calcular su l\'{\i}mite.

 \esp

\item Se dice que $\big( (a_n),(b_n) \big) $ es un
{\bf Par de Sucesiones Mon\'{o}tonas Convergentes} (PSMC) si se cumple que:
\\ i) \ $a_n\leq b_n, \ \forall n\geq 1$. \ \ \ ii) \  $(a_n)$ es
creciente y $(b_n)$ es decreciente. \\ iii)\ $\lim \big( b_n -
a_n \big) =0$.
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que si $\big( (a_n),(b_n) \big) $
es un PSMC entonces existe un \'{u}nico n\'{u}mero real $L$ con \\
$a_n\leq L \leq b_n, \ \forall n\geq 1, \ $ tal que
$(a_n)\longrightarrow L^{-} \ \ $ y \ \ $ (b_n)\longrightarrow
L^{+}$.
\item[(b)]  En cada uno de los siguientes casos, 
investigar si $\left( (a_n),(b_n) \right)$ es un PSMC

(i) $  a_n=2-{1/n^2} \   b_n=2+{1/n^2}$  \ \ 
(ii) $a_n=(2n-1)/(n+2) \ b_n=(6n+8)/(3n-1) \ \ $   (iii)
$a_n=(n-1)/(n+1)  \ b_n=(n+1)/(n-1) $



\end{itemize}




\esp


\item Probar que $\lim (\alpha n^ \beta)^{1/n} =1 \ \forall
\alpha >0 $ y $\beta \in \mathbb R$.

\item   
Si $\lim x_n =a$ probar que $\lim |x_n|=|a|$.

\item
Si una sucesi\'on mon\'otona tiene una subsucesi\'on
convergente, probar que la sucesi\'on es tambi\'en convergente.
\item
Si $\lim x_n = \lim y_n =a$ y definimos $(z_n)$ como
$z_{2n-1}=x_n$ y $ z_{2n}=y_n $, probar que $\lim z_n =a$.
\item
Un n\'umero $a$ se dice que es punto de adherencia (o punto de
aglomeraci\'on) de la sucesi\'on $(x_n)$ cuando es
l\'{\i}mite de alguna subsucesi\'on de $(x_n)$.
\begin{itemize}
\item [(a)] Hallar una sucesi\'on cuyo conjunto de puntos de
adherencia sea
$A= \{1,2,3\}$. Idem para $A = \mathbb N$ y para $A= [0,1]$.
\item[(b)] Probar que $a$ es punto de adherencia 
de la sucesi\'on $(x_n)$ si y s\'olo si $\forall \
\varepsilon >0$ y $\forall k \in \mathbb N \  \exists \ n>k$ tal
que $|x_n - a| < \varepsilon$.
\end{itemize}

\item
 Dada una sucesi\'on $(x_n)$ se define su
l\'{\i}mite superior  como
$$
\limsup x_n=\sup \{a\colon a \mbox{ es punto de adherencia de } (x_n)\},
$$
y su l\'{\i}mite inferior como
$$
\liminf x_n=\inf \{ a\colon a \mbox{ es punto de adherencia de }(x_n)\}.
$$
\begin{itemize}
\item[(a)] Probar que $\limsup x_n $ es punto de adherencia de
$(x_n)$ (es decir que el supremo es m\'aximo).
\item[(b)]  Probar que $\liminf x_n $ es punto de adherencia de
$(x_n)$ (es decir que el \'{\i}nfimo es m\'{\i}nimo).
\item[(c)] Probar que $\liminf x_n \leq \limsup x_n$ y el
igual se da si  s\'olo si existe $\lim x_n $ y adem\'as
$\liminf x_n = \limsup x_n = \lim x_n $.
\end{itemize}
\item 
Encontrar todos los puntos de aglomeraci\'{o}n, $\limsup$
y
$\liminf$ de las siguientes sucesiones:
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2} \ \ \ \ \ \ a_n=n^2\left[1+(-1)^n \right]
\]
\[   a_n=\frac{n-1}{n+1}\ cos\;\frac{2n\pi}{3} \ \ \ \ \
\ a_n=1+\frac{n}{n+1}\ cos\;\frac{n\pi}{2} \]

\end{enumerate}
\end{document}

\newpage

\begin{center}
\begin{large}
{\bf \underline{Ejercicios optativos}}
\end{large}
\end{center}

\esp
\item Sea $(a_n)$ una sucesi\'{o}n acotada de n\'{u}meros positivos.
Demuestra que
\[ \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf \sqrt[n]{a_n} \leq
\limsup \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} \] (Puedes
consultar el teorema 7 (p\'ag. 42) del ``Analise Real'' y la p\'{a}g. 113 del 
``Curso de An\'{a}lise Vol. I" de
Elon Lages Lima). \\ De lo anterior resulta que si $\lim
\frac{a_{n+1}}{a_n}$ existe, entonces tambi\'{e}n existe $\lim
\sqrt[n]{a_n}$ y ambos l\'{\i}mites coinciden. Encuentra un ejemplo
para el cual $\lim \sqrt[n]{a_n}$ exista y sin embargo $\lim
\frac{a_{n+1}}{a_n}$ no exista.

\esp

\item Consideremos las sucesiones dadas por:
\[ (a_n)_{n\in N} \ / \ a_n=sen(n\alpha )  \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ (b_n)_{n\in N} \ / \ b_n=cos(n\alpha ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
(\alpha \not= k\pi)  \]
\begin{itemize}
\item[(a)] Expresa $a_{n+1}$ y $b_{n+1}$ en funci\'{o}n
de $a_n$ y $b_n$ usando las conocidas f\'{o}rmulas de seno y coseno de
una suma. Demuestra que existe $\lim a_n$ si y s\'{o}lo si existe
$\lim b_n$.
\item[(b)] Demuestra que ni $(a_n)$ ni $(b_n)$ tienen
l\'{\i}mite.
\item[(c)] Si $\frac{\alpha}{\pi}\in Q$ prueba que
ambas sucesiones aglomeran en un n\'{u}mero finito de puntos.
\item[(d)] Si $\frac{\alpha}{\pi}\notin Q$ prueba que
ambas sucesiones aglomeran en todos los puntos del $[-1,1]$
(?!!!). (Para esto te sugerimos que uses (y previamente pruebes)
que si $\beta \not\in \Q$ entonces el conjunto $\{ \ m\beta+n\ /\
m,n \in \Z \ \}$ es denso en $\mathbb{R}$.)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}

