Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 2 Sucesiones

1. Consideremos la sucesión (a_{n})_{n≥0} definida por:

a_{0} = 1 a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}}, ∀n ≥ 0.

Demostrar que (a_{n}) es monótona creciente y que está acotada superiormente. Deducir que converge y calcular su límite.

2. Consideremos la sucesión (a_{n})_{n≥0} definida por:

a_{0} = \sqrt{3} a_{n+1} = \sqrt{3a_{n}}, ∀n ≥ 0.

Demostrar que (a_{n}) es monótona creciente y que está acotada superiormente. Deducir que converge y calcular su límite.

3. Consideremos la sucesión (x_{n})_{n≥0} definida por:

x_{0} = a > 0 x_{n+1} = \sqrt{2x_{n}^{2} + 1}, ∀n ≥ 0.

(a) Demostrar que es creciente pero que no tiene límite finito.

(b) Calcular lim \frac{x_{n+1}}{x_{n}}

(c) Para a = 0 encontrar una fórmula explícita para x_{n}.

4. Dado un número λ > 0 consideremos la sucesión (x_{n})_{n∈N} dada por:

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{λ}{x_{n}} ) , ∀n ≥ 0, x_{0} > \sqrt{λ}

(a) Probar que (x_{n}) es decreciente y que está acotada inferiormente por \sqrt{λ}. Deducir que converge y probar que su límite es \sqrt{λ}.

(b) Sea ϵ_{n} = x_{n} − \sqrt{λ}. Mostrar que:
ϵ_{n+1} = \frac{ϵ_{n}^{2}}{2 x_{n}}  y  ϵ_{n+1} < 2 \sqrt{λ} (\frac{ϵ_{1}}{2\sqrt{λ}})^{2^{n}} , ∀n ≥ 0

(c) Usando lo anterior y admitiendo que \frac{2−\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} < \frac{1}{10}, calcular \sqrt{3} con un error menor que 10^{−7}.

5. Consideremos la sucesión (x_{n})_{n≥0} definida por:

x_{0} = 0 x_{n+1} = \frac{6 + x_{n}}{6 − x_{n}} , ∀n ≥ 0.

Demostrar que converge y calcular su límite.

6. Se dice que ((a_{n}), (b_{n})) es un Par de Sucesiones Monótonas Convergentes (PSMC) si se cumple que:

i) a_{n} ≤ b_{n}, ∀n ≥ 1. ii) (a_{n}) es creciente y (b_{n}) es decreciente. iii) lim (b_{n} − a_{n}) = 0.

(a) Probar que si ((a_{n}), (b_{n})) es un PSMC entonces existe un único número real L con a_{n} ≤ L ≤ b_{n}, ∀n ≥ 1, tal que (a_{n}) ⟶ L^{−} y (b_{n}) ⟶ L^{+}.

(b) En cada uno de los siguientes casos, investigar si ((a_{n}), (b_{n})) es un PSMC

(i) a_{n} = 2 − 1/n^{2} b_{n} = 2 + 1/n^{2} (ii) a_{n} = (2n − 1)/(n + 2) b_{n} = (6n + 8)/(3n − 1) (iii) a_{n} = (n − 1)/(n + 1) b_{n} = (n + 1)/(n − 1)

7. Probar que lim(αn^{β})^{1/n} = 1 ∀α > 0 y β ∈ ℝ.

8. Si lim x_{n} = a probar que lim |x_{n}| = |a|.

9. Si una sucesión monótona tiene una subsucesión convergente, probar que la sucesión es también convergente.

10. Si lim x_{n} = lim y_{n} = a y definimos (z_{n}) como z_{2n−1} = x_{n} y z_{2n} = y_{n}, probar que lim z_{n} = a.

11. Un número a se dice que es punto de adherencia (o punto de aglomeración) de la sucesión (x_{n}) cuando es límite de alguna subsucesión de (x_{n}).

(a) Hallar una sucesión cuyo conjunto de puntos de adherencia sea A = {1, 2, 3}. Idem para A = ℕ y para A = [0, 1].

(b) Probar que a es punto de adherencia de la sucesión (x_{n}) si y sólo si ∀ ε > 0 y ∀k ∈ ℕ ∃ n > k tal que |x_{n} − a| < ε.

12. Dada una sucesión (x_{n}) se define su límite superior como

lim sup x_{n} = sup{a: a es punto de adherencia de (x_{n})}, y su límite inferior como

lim inf x_{n} = inf{a: a es punto de adherencia de (x_{n})}.

(a) Probar que lim sup x_{n} es punto de adherencia de (x_{n}) (es decir que el supremo es máximo).

(b) Probar que lim inf x_{n} es punto de adherencia de (x_{n}) (es decir que el ínfimo es mínimo).

(c) Probar que lim inf x_{n} ≤ lim sup x_{n} y el igual se da si sólo si existe

lim x_{n} y además lim inf x_{n} = lim sup x_{n} = lim x_{n}.

13. Encontrar todos los puntos de aglomeración, lim sup y lim inf de las

siguientes sucesiones:

a_{n} = \frac{1 + (−1)^{n}}{2} a_{n} = n^{2} [1 + (−1)^{n}]

a_{n} = \frac{n − 1}{n + 1} cos \frac{2nπ}{3} a_{n} = 1 + \frac{n}{n + 1} cos \frac{nπ}{2}