\documentclass[11pt]{article}

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\begin{document}


\pagestyle{empty}





\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  1}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}



\esp

\begin{enumerate}

\item Probar las siguientes propiedades del valor absoluto:
\begin{itemize}
\item[(a)] $|x-z| \leq |x-y|+|y-z| \ \forall x,y,z \in 
\mathbb R$
\item[(b)] $| |x|-|y| | \leq |x-y| \ \forall x,y,z \in \mathbb
R$
\item[(c)] $ |\sum_{i=1}^n a_i | \leq \sum_{i=1}^n |a_i |$
cualesquiera sean $a_1 , a_2 , ..., a_n \in \mathbb R$
\item[(d)] $|x-y| \leq r \Leftrightarrow y-r \leq x \leq y+r $
calesquiera sean $x,y \in \mathbb R$, $r>0$.
\end{itemize}
\item Probar las siguientes desigualdades:
\begin{itemize}
\item[(a)] $(1+x)^n \geq 1+nx+ \frac{n(n-1)}{2}x^2 \ \forall
x\geq 0$, $n \in \mathbb N$.
\item[(b)] $(1+x)^{2n}>1+2nx \ \forall x\neq 0$, $n \in
\mathbb N$.
\end{itemize}
\item Decimos que una funci\'on $f:X \rightarrow \mathbb R $ es
acotada superiormente si y s\'olo si lo es su imagen $f(X)= \{
f(x) : x \in X \}$. Queda definido entonces $\sup f = \sup \{
f(x): x
\in X\}$. Probar que si $f$ y $g$ son acotadas superiormente
tambi\'en lo es la suma $f+g$ y adem\'as se cumple que
$\sup(f+g) \leq \sup f + \sup g$. Dar un ejemplo donde  la
desigualdad sea estricta.\\
Enunciar y probar un resultado an\'alogo para el \'{\i}nfimo.
\item Dadas $f,g:X \rightarrow \mathbb R^+ $ acotadas
superiormente, probar que el producto $f.g$ es acotada
(superior e inferiormente)  y adem\'as $\sup(f.g) \leq \sup f
\sup g , $
$\inf(f.g) \geq \inf f \inf g$. Dar ejemplos donde se den las
desigualdades estrictas.  ?`Qu\'e ocurre si alguna no
es positiva?
\item En las condiciones del ejercicio anterior, probar que
$\sup (f^2) = \left ( \sup f \right )^2$ e $\inf (f^2) = \left
(\inf f \right )^2$  ?`Qu\'e ocurre si $f$ no
es positiva?
\item Hallar si existen supremo, \'{\i}nfimo, m\'aximo,
m\'{\i}nimo para $f(x)= \frac{x^2}{1+x}$ en los siguientes
conjuntos: (a) $\mathbb R - \{-1 \}\ $ (b)  $(0, + \infty) \ $ 
(c)
$(- \infty, 0]\  $  (d) $(-1 , +\infty)$. 
\item Hallar si existen supremo, \'{\i}nfimo, m\'aximo,
m\'{\i}nimo para 
\[ f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} \frac{x^2}{1+x^2} & \mbox{si
$x \neq 0$} \\
2 & \mbox{si $x=0$}
\end{array} \right . \] en (a) $\mathbb R \ $ (b) $(0, +
\infty)$
\ (c) $[a,b]$ discutiendo seg\'un $a$ y $b$.

 \item Hallar si existen supremo, \'{\i}nfimo, m\'aximo,
m\'{\i}nimo para los siguientes conjuntos: \\
(a) $ \{ x: 3x^2 -10x+3 < 0 \}$ \ \  (b) $ \{ x: m(x-2)(x-m)>0
\}$ (discutir)\\  
(c) $ \{ 2^{-n} + 3^{-m} : n,m \in \mathbb N
\}$  \ \ (d) $ \{ m : \forall x \ \ x^2-mx+1 >0  \}$ \\
 (e) $ \left\{ y : y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \right \}$
\item Desigualdad de Cauchy-Schwarz.\\
Si $x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb R$, $y_1, y_2, ..., y_n \in
\mathbb R$, entonces \[ \left ( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right )^2
\leq
\sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i ^2 \] y la igualdad se da
si y s\'olo si existe $\lambda \in  \mathbb R$ tal que $x_i =
\lambda y_i \ \forall i=1,2,...,n $ o $y_1 =y_2=...=y_n=0.$\\
Sugerencia: considerar la funci\'on $f( \lambda) = \sum_{i=1}^n
(x_i + \lambda y_i )^2 \geq 0 \ \forall \lambda$
\end{enumerate}


\end{document}