Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 1

1. Probar las siguientes propiedades del valor absoluto:

(a) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| ∀x, y, z ∈ ℝ

(b) ||x| − |y|| ≤ |x − y| ∀x, y, z ∈ ℝ

(c) | ∑_{i=1}^{n} a_{i}| ≤ ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| cualesquiera sean a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} ∈ ℝ

(d) |x − y| ≤ r ⇔ y − r ≤ x ≤ y + r calesquiera sean x, y ∈ ℝ, r > 0.

2. Probar las siguientes desigualdades:

(a) (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx + \frac{n(n−1)}{2}x^{2} ∀x ≥ 0, n ∈ ℕ.

(b) (1 + x)^{2n} > 1 + 2nx ∀x ≠ 0, n ∈ ℕ.

3. Decimos que una función f : X → ℝ es acotada superiormente si y sólo si lo es su imagen f(X) = {f(x) : x ∈ X}. Queda definido entonces sup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Probar que si f y g son acotadas superiormente también lo es la suma f + g y además se cumple que sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dar un ejemplo donde la desigualdad sea estricta. Enunciar y probar un resultado análogo para el ínfimo.

4. Dadas f, g : X → ℝ^{+} acotadas superiormente, probar que el producto f.g es acotada (superior e inferiormente) y además sup(f.g) ≤ sup f sup g, inf(f.g) ≥ inf f inf g. Dar ejemplos donde se den las desigualdades estrictas. ¿Qué ocurre si alguna no es positiva?

5. En las condiciones del ejercicio anterior, probar que sup(f^{2}) = (sup f)^{2} e inf(f^{2}) = (inf f)^{2} ¿Qué ocurre si f no es positiva?

6. Hallar si existen supremo, ínfimo, máximo, mínimo para f(x) = \frac{x^{2}}{1+x} en los siguientes conjuntos: (a) ℝ − {−1} (b) (0, +∞) (c) (−∞, 0]

(d) (−1, +∞).

7. Hallar si existen supremo, ínfimo, máximo, mínimo para

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}}{1+x^{2}} & si x ≠ 0 \\ 2 & si x = 0 \end{matrix}

en (a) ℝ (b) (0, +∞) (c) [a, b] discutiendo según a y b.

8. Hallar si existen supremo, ínfimo, máximo, mínimo para los siguientes conjuntos:

(a) {x : 3x^{2} − 10x + 3 < 0} (b) {x : m(x − 2)(x − m) > 0} (discutir)

(c) {2^{−n} + 3^{−m} : n, m ∈ ℕ} (d) {m : ∀x x^{2} − mx + 1 > 0}

(e) \{y : y = \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}−x+1}\}

9. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Si x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} ∈ ℝ, y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} ∈ ℝ, entonces

(∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i})^{2} ≤ ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} ∑_{i=1}^{n} y_{i}^{2}

y la igualdad se da si y sólo si existe λ ∈ ℝ tal que x_{i} = λy_{i} ∀i = 1, 2, ..., n o y_{1} = y_{2} = ... = y_{n} = 0. Sugerencia: considerar la función f(λ) = ∑_{i=1}^{n}(x_{i} + λy_{i})^{2} ≥ 0 ∀λ