\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{amssymb}

%\newcommand{\r}{\hspace*{1cm}}
\newcommand{\inc}{\subseteq_{\!\!\!\! / }}
\newcommand{\inte}{\mbox{$^{\!\circ}$}}
\newcommand{\N}{\mbox{$\mathbb{N}$}}
\newcommand{\Z}{\mbox{$Z\!\!\!Z$}}
\newcommand{\Q}{\mbox{$\mathbb{Q}$}}
\newcommand{\erre}{\mbox{$\mathbb{R}$}}
\newcommand{\K}{\mbox{$\mathbb{K}$}}
\newcommand{\indic}{\mbox{$1\!\!{\rm I}$}}
\newcommand{\sgn}{{\rm sgn\,}}
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\newcommand{\esp}{\vspace*{3mm}}
\newcommand{\uno}{\vspace*{1cm}}
\newcommand{\pirulo}[1]{\mbox{$#1^{^{^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\longrightarrow}=}}$}}
\newcommand{\Po}[1]{\mbox{${\cal P}_{#1}$}}
\newcommand{\M}[2]{\mbox{${\cal M}(\R)_{#1x#2}$}}
\newcommand{\MC}[2]{\mbox{${\cal M}(\C)_{#1x#2}$}}
\newcommand{\C}{\mbox{$I\:\!\!\!\!\!C$}}
\newcommand{\noin}{\mbox{$\in\!\!\!\!/$}}
\newcommand{\co}{{\cal C}([a,b])}
\newcommand{\dem}{{\sc Demostraci\'{o}n.}}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\ep}{\epsilon}
\newcommand{\conj}{$\left\{\ /\ \right\}$}
\newcommand{\imp}{\int_a^{+\infty} f}
\newcommand{\gral}{\int_a^x f}
\newcommand{\valo}{[a,b]}
\newcommand{\reg}{{\cal R}\left( f,[a,b] \right)}
\newcommand{\chiri}{$\spadesuit$}


\begin{document}


\pagestyle{empty}





\noindent
\begin{center}
Universidad de la Rep\'{u}blica \\ Facultad de Ciencias \ \ \ \ \ \
Centro de Matem\'{a}tica \\ C\'{a}lculo Diferencial e Integral I. Curso
2003.\\
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}
 {\bf Pr\'{a}ctico  \  0}
\end{Large}
\end{center}

\vspace*{3mm}
 

\begin{enumerate}
\item Probar que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B ) \cup (A \cup
C)$  

\item Si $\{A_ \alpha \}_{\alpha \in I }$ es una familia
arbitraria de conjuntos, probar las leyes de De Morgan: 
\[  \left ( \cup_{\alpha \in I} A_\alpha \right )^c =
\cap_{\alpha \in I} A_\alpha ^c \ \ \  \left ( \cap_{\alpha \in
I} A_\alpha \right )^c =
\cup_{\alpha \in I} A_\alpha ^c \] 
\item Probar que la compuesta de dos biyecciones es una
biyecci\'on.
\item Probar que si $f: X\rightarrow  Y $ es inyectiva, existe
un \'unico $B \subset Y$ tal que la funci\'on $g: X \rightarrow
B$  definida como $g(x)=f(x) \ \ \forall x \in X$ es biyectiva.
\item Dada  $f: X\rightarrow  Y $ sobreyectiva ?`Existe un
\'unico $A \subset X $ tal que $f|_A : A \rightarrow Y $ es
biyectiva?
\item Probar que el principio de inducci\'on es consecuencia
del principio de buena ordenaci\'on. 
\item Si $X$ e $Y$ son finitos, probar que $X \cup Y$ es finito
y que $card (X \cup Y) =card X + card Y - card( X \cap Y) $.
\item Si $X$ e $Y$ son finitos, probar que $X \times Y$
tambi\'en lo es y que \\
$card(X \times Y) = card X card Y$.
\item  Sea $X$ finito, si $\cal {P}$$(X)$ es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de $X$ probar que $card \cal{P}$$(X)
= 2^{card X }$.
\item Sea $\cal{F}$$(X,Y)$ el conjunto formado por las
funciones $f:X \rightarrow Y$. Si $card X = m$ y $ card Y =n$,
probar que $card \cal{F}$$(X,Y) = n^m$.
 \item Si $f: X \rightarrow Y$, probar que
\begin{itemize}
\item[(a)] Si $X$ es infinito y $f$ es inyectiva entonces $Y$
es infinito.
\item[(b)] Si $Y$ es infinito y $f$ es sobreyectiva, entonces
$X$ es infinito.
\end{itemize}
\item Probar que existe $f: X \rightarrow Y$ inyectiva si y
s\'olo si existe $g: Y \rightarrow X$ sobreyectiva.
\item Sea $f:  \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb
N$ definida como $f(1,n)=2n-1$ y $f(m+1,n)=2^m (2n-1)$. Probar
que $f$ es biyectiva.
\item Si $P_n = \{ X \subset \mathbb N : card X =n \}$, probar
que $P_n$ es numerable y deducir que el conjunto formado por
los subconjuntos finitos de $\mathbb N $  es numerable.
\item Probar que $\cal{P}$$( \mathbb N )$ no es numerable.


\end{enumerate}





\end{document}