Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2003.

Práctico 0

1. Probar que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)

2. Si {A_{α}}_{α∈I} es una familia arbitraria de conjuntos, probar las leyes de De Morgan:

(∪_{α∈I}A_{α})^{c} = ∩_{α∈I}A_{α}^{c} (∩_{α∈I}A_{α})^{c} = ∪_{α∈I}A_{α}^{c}

3. Probar que la compuesta de dos biyecciones es una biyección.

4. Probar que si f : X → Y es inyectiva, existe un único B ⊂ Y tal que la función g : X → B definida como g(x) = f(x) ∀x ∈ X es biyectiva.

5. Dada f : X → Y sobreyectiva ¿Existe un único A ⊂ X tal que f|_{A} : A → Y es biyectiva?

6. Probar que el principio de inducción es consecuencia del principio de buena ordenación.

7. Si X e Y son finitos, probar que X ∪ Y es finito y que card(X ∪ Y) = cardX + cardY − card(X ∩ Y).

8. Si X e Y son finitos, probar que X × Y también lo es y que card(X × Y) = cardXcardY.

9. Sea X finito, si P(X) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de X probar que cardP(X) = 2^{cardX}.

10. Sea F(X, Y) el conjunto formado por las funciones f : X → Y. Si cardX = m y cardY = n, probar que cardF(X, Y) = n^{m}.

11. Si f : X → Y, probar que

(a) Si X es infinito y f es inyectiva entonces Y es infinito.

(b) Si Y es infinito y f es sobreyectiva, entonces X es infinito.

12. Probar que existe f : X → Y inyectiva si y sólo si existe g : Y → X sobreyectiva.

13. Sea f : ℕ × ℕ → ℕ definida como f(1, n) = 2n − 1 y f(m + 1, n) = 2^{m}(2n − 1). Probar que f es biyectiva.

14. Si P_{n} = {X ⊂ ℕ : cardX = n}, probar que P_{n} es numerable y deducir que el conjunto formado por los subconjuntos finitos de ℕ es numerable.

15. Probar que P(ℕ) no es numerable.