(1) A y B juegan uno contra el otro, con dos dados, bajo la condicion de que A gana si obtiene 6 puntos,
y B gana si obtiene 7 puntos. Le corresponde el primer tiro a A, los dos siguientes a B, los otros dos siguientes a
A, y así sucesivamente, hasta que gane alguno de los dos jugadores.
La pregunta es: ¿Cuál es la chance de A sobre B?
Respuesta: 10,355 sobre 12,276
Nota: Este problema fue propuesto por Fermat en carta a Huygens en junio de 1656, y resuelto por Huygens en carta a
Carcavi el 6 de julio de 1656.
(2) Tres jugadores A, B y C, teniendo 12 fichas de las cuales cuatro son blancas y ocho negras, juegan con la
condición, de que gana el primer jugador que obtiene (al extraer sin mirar) una ficha blanca,
y A extrae primero, luego B, luego C, luego A nuevamente, y asi sucesivamente.
La pregunta es: ¿Cuál es la proporción de las chances de ganar de cada jugador con respecto
de los otros?
Respuesta: 9:6:4
Nota: Este problema fue resuelto por Huygens en 1665
(3) A apuesta a B que de un mazo de 40 cartas, entre las cuales hay 10 de cada color, extraerá 4, de forma
de obtener una de cada color.
Las chances de A sobre las de B son de 1000 contra 8139.
Nota: Este problema fue propuesto por Fermat en carta a Huygens en junio de 1656;
la respuesta sin prueba está en la carta a
Carcavi del 6 de julio de 1656.
(4) Como antes, los jugadores tienen 12 fichas de las cuales cuatro son blancas y ocho negras;
A apuesta a B que escogiendo siete fichas sin mirar, obtendrá tres blancas.
La pregunta es ¿Cuál es la chance de A sobre B?
(Huygens también considera el caso en que se apuesta a escoger tres o mas fichas blancas.)
Nota: Este problema fue resuelto por Huygens en 1665
(5)
Teniendo A y B 12 cada uno doce fichas, juegan con tres dados, bajo la condición de que
si se obtienen 11 puntos, A entrega una ficha a B, si se obtienen 14 B entrega una a A,
ganando el jugador que obtiene primero todas las fichas.
Aquí se encuentra que las chances de A sobre las de B son de 244.140.625 a 282.429.536.481
Nota: Este es el problema planteado por Pascal a Fermat y a través de Carcavi a Huygens en una carta
del 28 de setiembre de 1656 que contiene las soluciones dadas por Pascal y Fermat.
La solución de Huygens está en la carta a Carcavi del 12 de octrubre de 1656, y la demostración
en una nota de 1676.
Este problema se conoce como el problema de la ruina del jugador.
(6) Al tirar un dado equilibrado, con iguales chances se obtienen 1,2,3,4,5 ó 6 puntos.
En caso de tirar dos dados la suma de los puntos obtenidos esta comprendida entre 2 y 12.
Tanto el 9 como el 10, a partir de los números 1,2,3,4,5,6 se puede obtener de dos formas distintas:
9=3+6=4+5, y 10=4+6=5+5.
En el problema con tres dados tanto el 9 como el 10 se obtienen de seis formas.
¿Porque entonces el 9 se obtiene con mayor frecuencia al tirar dos dados,
y el 10 con mayor frecuencia al tirar tres?
Nota: Este problema aparece en el primer libro escrito sobre teoria de la probabilidad, de G. Cardano
(Notas históricas de probabilidad, [Székely])