\input{preambulo-practicos.tex} \begin{center} {\bf Pr\'actico 6: Integrales m\'ultiples} \end{center} \vskip2mm\noindent{\bf 1.} Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de $f$ sobre ciertos dominios. Croquizar esos dominios y expresarlas como integrales iteradas en el orden inverso de integraci\'{o}n. \[ \int_{0}^{1}dy \int_{0}^{y}f(x,y)dx \ \ \ \ \ \ \ \int_{1}^{4}dx \int_{\sqrt{x}}^{2}f(x,y)dy \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{2}dy \int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx \] \[ \int_{1}^{2}dx \int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^{2}}}f(x,y)dy \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{1}^{e}dx \int_{0}^{\log(x)}f(x,y)dy \] \vskip2mm\noindent{\bf 2.} Calcular $\iint_{D}f(x,y)dxdy$ en cada uno de los siguientes casos: \begin{itemize} \item[(a)] $f(x,y)=2x-y $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 1\leq x \leq 4 , 0 \leq y \leq \sqrt{x} \}$. \item[(b)] $f(x,y)=\sqrt{4x^{2}-y^{2}} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq \ x \}$. \item[(c)] $f(x,y)=xy^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq y \leq 1 , y \leq x \leq y+1 \}$. \item[(d)] $f(x,y)=x^{2}-y^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq \sen(x) \}$. \item[(e)] $f(x,y)=xy $ \ y \ $D_{1}=\{ (x,y) \in \R^{2}/ \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \}$ ; \ $D=D_1\cap \{ y \geq 0 \}$. \item[(f)] $f(x,y)=(xy)^{2} $ \ y \ $D$ es la regi\'{o}n acotada del primer cuadrante comprendida entre las hip\'erbolas: $xy=1$, $xy=2$ y las rectas $y=x$, $y=4x$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 3.} Calcular \ $\int \int_{D} f(x,y)dxdy$ \ en cada uno de los siguientes casos, haciendo cambios de variable convenientes: \begin{itemize} \item[(a)] $f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon x^{2}+y^{2} \leq r^{2} \}$. \item[(b)] $f(x,y)=x+y $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq x , \ 0 \leq y \leq \ x , \ x^{2}+y^{2} \leq 1 \}$. \item[(c)] $f(x,y)=x^{2}+y^{2} $ \ y \ $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\colon 0\leq y ,\ x^{2}+y^{2} \geq 1 , \ x^{2}+y^{2}-2x \leq 0 \}$. \item[(d)] $f(x,y)=x^{2}/(x^{2}+y^{2})$ \ y \ $D$ es el tri\'{a}ngulo de lados $y=x$, $y=-x$, $x=1$ (se sugiere pasar a polares). \item[(e)] $f(x,y)=(x-y)^{2}\sen^{2}(x+y) $ \ y \ $D$ es el cuadrado de v\'ertices $(0,\pi )$, $(2\pi , \pi )$, $(\pi ,2\pi )$. \item[(f)] $f(x,y)=x^{2}/(x^{2}+y^{2}) $ y $D=\{ (x,y) \in \R^{2}\ / \ 0 \leq x \leq 1 , \ x^{2} \leq y \leq 2-x^{2} \} $. Se sugiere hacer el cambio de variable $x=\sqrt {v-u}$ , $y=v+u$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 4.} Calcular la integral $\iint_{D} xdxdy$ \ siendo $D$ el paralelogramo de v\'ertices $(-2/3,-1/3)$, $(2/3,1/3)$, $(4/3,-1/3)$ y $(0,-1)$ de las siguientes formas: \begin{itemize} \item[(a)] En coordenadas cartesianas. \item[(b)] Haciendo un cambio de variables lineal que transforme $D$ en el cuadrado de v\'ertices: $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 5.} Sea $U=\{(u,v)\in \R^{2}\colon u>0\}$ y $h\colon U\rightarrow h(U)$ dada por $h(u,v)=(u+v,v-u^{2})$. \begin{itemize} \item[(a)] Probar que $h$ es un cambio de coordenadas (se hallar\'{a} expl\'{\i}citamente $h^{-1}$). \item[(b)] Hallar $J_{h}$ y $det(J_{h})$ en un punto gen\'erico. Hallar $det(J_{h^{-1}})$ en $(2,0)$, observando que $h(1,1)=(2,0)$. \item[(c)] Sea $T$ el tri\'{a}ngulo de lados $u=0$, $v=0$, $u+v=2$. Calcular el \'area de $S=h(T)$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 6.} Demostrar la siguiente igualdad: \[ \iint_{D} f(xy)\ dxdy=\log(2)\int_{1}^{2}f(u)\ du, \] siendo $D$ la regi\'{o}n del primer cuadrante limitada por las hip\'erbolas $xy=1$, $xy=2$ y las rectas $y=x$, $y=4x$. \vskip2mm\noindent{\bf 7.} Calcular $I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$, calculando $I^{2}$ mediante un cambio de coordenadas a polares. \vskip2mm\noindent{\bf 8.} \emph{Integrales impropias} \begin{itemize} \item[(a)] Para cada $n\in N$ definimos $D_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon x+y \le n, 0\leq y, 0\leq x\}$. Calcular \[ \iint_{D_{n}}\frac{6}{(x+y+1)^{3}}\ dxdy \] \item[(b)] Si $D=\{ (x,y)\in \R^{2}\colon 0\leq y , 0\leq x\}$, ?`existe la integral impropia $\iint_{D}6(x+y+1)^{-3}dxdy$? \item[(c)] Siendo $E_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon 0\leq y, 0\leq x, x^{2}+y^{2}\leq n\}$, calcular \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}\iint_{E_{n}}\frac{6}{(x+y+1)^{3}}\ dxdy \] \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 9.} \emph{Integrales impropias} \begin{itemize} \item[(a)] Siendo $D_{n}=\{(x,y)\in \R^{2}\colon\frac{1}{n^{2}}\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\}$, calcular \[ \iint_{D_{n}} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}dxdy \] \item[(b)] Si $D=\{(x,y)\in \R^{2}\colon x^{2}+y^{2} \leq 4\}$ ?`existe la integral impropia $\iint_{D}(x^{2}+y^{2})^{-1}dxdy$? En caso de que exista, calcularla. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 10.} Calcular $ \iint_{D}f\ dxdydz$ en los siguientes casos: \begin{itemize} \item[(a)] $f(x,y,z)={(x+y+z+1)^{-2}}$ \ y \ $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\colon 0 \leq y , \ 0 \leq x , \ x+y+z \leq 1 \}$. \item[(b)] $f(x,y,z)=x$ \ y \ $D$ es el dominio acotado limitado por: $z=0$ , $y=0$, $y=x$, $x+y=2$, $x+y+z=6$. \item[(c)] $f(x,y,z)=xyz$, \ $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\colon 0 \leq y , \ 0 \leq x , \ 0 \leq z , \ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \}$. \item[(d)] $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}$ \ y \ $D$ es el dominio acotado comprendido entre: $x^{2}+y^{2}=2x$, $z=0$, $z=2$. \item[(e)] $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}$ \ y \ $D$ comprendido entre: $z=0$, $x=0$, $x=1$, $y=x^{2}$, $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. \item[(f)] $f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ \ y \ $D$ comprendido entre: $z=0$, $z=1$, $z^{2}=x^{2}+y^{2}$. \item[(g)] $f(x,y,z)=z$ \ y \ $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\ /\ 0 \leq a \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq b \ \}$. \item[(h)] $f(x,y,z)=\big((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\big)^{-1/2}$ \ y \ $D$ la clausura de bola de centro en el origen y radio $r$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 11.} Calcular el volumen de $D$: \begin{itemize} \item[(a)] $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3} \colon x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2} \leq z\le 1 \}$. \item[(b)] $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3} \colon \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1 \ \}$. \item[(c)] $D=\{ (x,y,z)\in \R^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2} ,\ x^{2}+y^{2}-rx\geq 0 , \ x^{2}+y^{2}+rx \geq 0 \ \}$. \item[(d)] $D$ comprendido entre $z=x^{2}$, $z=4-x^{2}-y^{2}$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 12.} Sea $S$ el s\'{o}lido determinado por las condiciones: \[ z\leq 0,\quad x^{2}+y^{2} \leq 4,\quad x^{2}+y^{2} \geq z^{2},\quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16. \] Pasando a coordenadas cil\'{\i}ndricas calcular la integral $\iiint_{S} z\ dxdydz$. \vskip2mm\noindent{\bf 13.}(Examen Marzo 2000) Hallar el volumen de la intersecci\'on de la bola $x^2+y^2+z^2\le 1$ con el interior del cilindro $2x^2+y^2-2x=0$. \vskip2mm\noindent{\bf 14.}(Examen 7/8/2000) Designemos mediante $(\rho,\varphi)$ las coordenadas polares en el plano $xOy$. \begin{itemize} \item[(a)] Hacer un esquema del conjunto de puntos $(x,y)$ tales que \begin{equation*} \begin{cases} 0\le\varphi\le\pi/2,\\ 0\le \rho\le 2R\varphi/\pi. \end{cases} \end{equation*} Sea $S_R$ ese conjunto. \item[(b)] Calcular el volumen del s\'olido intersecci\'on de la bola \[ B_R=\{(x,y,z)\colon x^2+y^2+z^2\le R^2\} \] y el cilindro de generatrices paralelas a $Oz$ que se proyecta en $S_R$ sobre el plano $xOy$. \end{itemize} \vskip2mm\noindent{\bf 15.}(Examen 10/2/2000) (a) Probar que si $u\colon\R^n\to\R\ (n\ge 2)$ es una funci\'on radial, es decir, existe una funci\'on $f\colon\R\to\R$ tal que $u(x)=f\big(\|x\|)$, el laplaciano de $u$ es \[ \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}={1\over r^{n-1}}\big(r^{n-1}u_r\big)_r, \] donde $r=\|x\|=\big(\sum_{i=1}^nx_i^2\big)^{1/2}$. \par\noindent\vskip1mm (b) Hallar las soluciones radiales de la Ecuaci\'on de Laplace \[ \Delta u=0, \] en $\R^n-\{(0,0)\}$. \par\noindent\vskip1mm (c) Sea $F$ una soluci\'on hallada en la parte anterior para $n=2$. Calcular \[ \iint_{B_{\varepsilon}}F(x,y)dxdy, \] siendo $B_{\varepsilon}=\{(x,y)\colon \varepsilon^20$. Hallar el volumen del s\'olido acotado que limitan $S_1$ y $S_2$. \end{document}