Notas de Cálculo Diferencial e Integal II (2002) - Clase 11

Teorema 1 (Diferencial de la función compuesta (Regla de la Cadena)). Consideremos las funciones f = (f_{1}, …, f_{m}): U → ℝ^{m} donde U ⊂ ℝ^{n} es abierto; g: V → ℝ; donde V ⊂ f(U) ⊂ ℝ^{m} también es abierto. Supongamos que cada función coordenada f_{j} (j = 1, …, m) es diferenciable en un punto a ∈ U, y que g es diferenciable en b = f(a). Entonces, la función compuesta h = g ∘ f: U → ℝ es diferenciable en el punto a, y sus derivadas parciales verifican:

∂_{i}(g ∘ f)(a) = ∂g_{1}(b)∂_{i}f_{1}(a) + ⋯ + ∂g_{m}(b)∂_{i}f_{m}(a) para cada i = 1, …, n. (1)

Observación. Consideremos el caso m = n = 1. Hemos visto que para f: (a, b) → ℝ, las nociones de función derivable y función diferenciable coinciden. Es claro entonces, que se trata de una generalización de la regla de la cadena de funciones reales. En particular, en la ecuación (1) queda un único sumando con el producto de las derivadas.

Observación. Veamos como se escribe la fórmula (1) en la notación de Leibnitz del cálculo diferencial. Designemos mediante x = (x_{1}, …, x_{n}) e y = (y_{1}, …, y_{m}) los puntos de U y V respectivamente, z = g(y_{1}, …, y_{m}), y la composición consiste en considerar que cada variable y_{j} (j = 1, …, m) depende (es una función) de las variables (x_{1}, …, x_{n}), y tenemos y_{j} = f_{j}(x_{1}, …, x_{n}) (j = 1, …, m). Decimos entonces que las y_{j} (j = 1, …, m) son las variables dependientes, mientras que las x_{i} (i = 1, …, n) son las variables independientes; y escribimos

∂_{i}h = \frac{∂z}{∂x_{i}} ,  ∂_{j}g = \frac{∂z}{∂y_{j}} ,  ∂_{i}f_{j} = \frac{∂y_{j}}{x_{i}} ,

con lo que la regla de la cadena (1) se lee

\frac{∂z}{∂x_{i}} = \frac{∂z}{y_{1}} \frac{∂y_{1}}{∂x_{i}} + ⋯ + \frac{∂z}{y_{m}} \frac{∂y_{m}}{∂x_{i}} .

Esta notación es especialmente útil para recordar.

Demostración. Veremos que se verifica la definición de función diferenciable para h, y al calcular las constantes en la definición, obtendremos (1). Como U es abierto, existe una bola B(a, ε) ⊂ U. Para cada v = (v_{1}, …, v_{n}) con a + v ∈ B(a, ε), aplicando la definción de diferenciabilidad de cada función f_{j} (j = 1, …, m) tenemos

f_{j}(a + v) = f_{j}(a) + ∑_{i=1}^{n} ∂_{i}f_{j}(a)v_{i} + ∥v∥p_{j}(v)  (2)

lim_{v→0} p_{j}(v) = p(0) = 0.

Sea w = (w_{1}, …, w_{m}) = f(a + v) − f(a) = (f_{1}(a + v) − f_{1}(a), …, f_{m}(a + v) − f_{m}(a)). Como w + b = w + f(a) = f(a + v) ∈ V, aplicando la definción de diferenciabilidad, ahora a la función g, tenemos

g(b + w) = g(b) + ∑_{j=1}^{m} ∂_{j}g(a)w_{j} + ∥w∥q(w)

lim_{w→0} q(w) = q(0) = 0.

Sustituyendo en la expresión anterior el factor w_{j} = f_{j}(a + v) − f_{j}(a) (j = 1, …, m) según lo obtenido en (2), tenemos

h(a + v) = g(f(a + v)) = g(w + b)

= g(b) + ∑_{j=1}^{m} ∂_{j}g(a)[ ∑_{i=1}^{n} ∂_{i}f_{j}(a)v_{i} + ∥v∥p_{j}(v)] + ∥w∥q(w)

Reordenando, como g(b) = g(f(a)) = h(a), cambiando el orden en la suma doble, e introduciendo la función auxiliar R(v), podemos escribir

h(a + v) = h(a) + ∑_{i=1}^{n} [ ∑_{j=1}^{m} ∂_{j}g(a)∂_{i}f_{j}(a)]v_{i} + ∥v∥R(v)  (3)

R(v) = ∑_{j=1}^{m} ∂_{j}g(b)p_{j}(v) + \frac{∥w∥}{∥v∥}q(w)  (4)

Resta entonces, para obtener la definción de diferenciabilidad para la función h en el punto a, ver que lim_{v→0} R(v) = 0, y observar que las constantes en (3), que serían las derivadas parciales, cumplen la fórmula (1) (que es inmediato). Veamos entonces que ∥w∥/∥v∥ está acotado. Tenemos,

|w_{j}| = | ∑_{i=1}^{n} ∂_{i}f_{j}(a)v_{i} + ∥v∥p_{j}(v)| ≤ ∑_{i=1}^{n} |∂_{i}f_{j}(a)||v_{i}| + ∥v∥|p_{j}(v)|

Como |v_{i}|/∥v∥ ≤ 1 y p_{j}(v) → 0, resulta que ∥w∥/∥v∥ está acotado. Finalmente, si v → 0, por continuidad, w → 0, y de la definción (4) obtenemos que R(v) → 0. Esto concluye la demostración.

Veamos ahora los dos casos particulares, en los que m = 1 o n = 1.

Corolario 1. Sean f: U → ℝ, con U ⊂ ℝ^{n} abierto; g: I → ℝ, con I ⊂ ℝ abierto, con f(U) ⊂ I. Si f es diferenciable en un punto a ∈ U, y g es diferenciable (derivable) en b = f(a), entonces h = g ∘ f es diferenciable en el punto a, y

\frac{∂h}{∂x_{i}} (a) = g′(b)\frac{∂f}{∂x_{i}} (a) (i = 1, …, n)

Decimos que una función λ: I → ℝ^{n}, con I un intervalo real, es una curva.

Corolario 2. Sean λ = (λ_{1}, …, λ_{n}): I → ℝ^{n}, donde I es un intervalo abierto; g: V → ℝ, con V ⊂ ℝ^{n} abierto, con f(I) ⊂ V. Si λ es diferenciable en un punto a ∈ I, y g es diferenciable en b = λ(a), entonces ϕ = g ∘ f: I → ℝ es diferenciable (derivable) en el punto a, y

ϕ′(a) = ∂_{1}g(b)λ′_{1}(a) + ⋯ + ∂_{n}g(b)λ′_{n}(a) = ⟨∇g(b), λ′(a)⟩,

donde introdujimos las notaciones ∇g(b) = (∂_{1}g(b), …, ∂_{n}g(b)) que llamamos vector gradiente de g en el punto b, y λ′(a) = (λ′_{1}(a), …, λ′_{n}(a)), que llamamos vector tangente a la curva λ en el punto a.

Observación. En el caso particular, en el que la curva es una recta (o un segmento abierto de recta) λ(t) = b + tv, como el vector tangente λ′(t) = v (es constante), el corolario anterior nos da

ϕ′(a) = ⟨∇g(b), v⟩ = \frac{∂g}{∂v} (b)

donde en la última igualdad utilizamos la definición de derivada direccional, y el corolario se reduce a un resultado conocido.

Además, tomando λ: (−ε, ε) → ℝ^{n} una curva arbitraria, diferenciable en a = 0 que verifique λ(0) = b, λ′(0) = v, tenemos, con ϕ_{λ} = g ∘ λ

ϕ′_{λ}(a) = ⟨∇g(b), v⟩ = \frac{∂g}{∂v} (b)

que es el mismo resultado. Concluímos, que para calcular la derivada direccional de g en el punto b con respecto de v, podemos componer g con cualquier curva λ que verifique λ(0) = b, λ′(0) = v.