Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2000 Facultad de Ciencias. Centro de Matemática

Examen. 23 de mayo del 2001

1. (a) Mostrar que la serie ∑(\sqrt{n^{α} + 1} − \sqrt{n^{α}}) converge para α > 2 y diverge para

α ≤ 2.

(b) Hallar todos los reales c tal que la siguiente serie converge:

∑ \frac{(n!)^{c}}{(3n)!}

(c) Hallar todos los enteros a ≥ 1 tal que la siguiente serie converge:

∑ \frac{(n!)^{3}}{(an)!}

2. Sea f(x) = (x + 1)^{2}e^{−(x+1)}.

(a) Calcular ∫_{1}^{+∞} f.

(b) Mostrar que f cumple las hipótesis del criterio integral en [1, +∞). Obtener cotas para la suma de

∑_{n=1}^{+∞}(n + 1)^{2}e^{−(n+1)}.

(c) Sea g(x) = f(x − 1). Hallar el desarrollo de Mc Laurin de orden 6 de g. Clasificar las series:

∑ g( \frac{1}{\sqrt[4]{n}}), ∑(−1)^{n}g(\frac{1}{n}).

3. (a) Hallar la solución general de la ecuación:

y′ + \frac{y}{tan x} = log(cos x), 0 < x < π/2.

(b) Hallar la solución de

y′(y + 3) = y^{2} − 1

con condición inicial y(0) = 0.

(c) Sea f la solución hallada en la parte (b). Clasificar la integral

∫_{0}^{1} \frac{f(x)}{x^{2}} dx.

(Sugerencia: hallar el desarrollo de Mc Laurin de orden 1 de f.)