Centro de Matemática 25 de febrero de 2004 Examen de Cálculo I (Período de marzo de 2004)

Ejercicio 1.

(a) Clasificar y sumar en caso de convergencia las siguientes series:

∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}},  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}.

(b) Clasificar y calcular en caso de convergencia las siguientes integrales:

∫_{0}^{1} \frac{1}{x(x + 1)(x + 2)}dx, ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x(x + 1)(x + 2)}dx.

Ejercicio 2.

(a) Hallar la primitiva F de la función

f(x) = (tan x) log(cos x), para − \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} ,

que verifica F (0) = 0.

(b) Calcular el primer término con coeficiente no nulo del desarrollo de Taylor de F en x = 0.

(c) Calcular

lim_{x→0} \frac{F (x)}{x^{4}}.

Ejercicio 3. Se consideran las funciones

f(x) = x(1 − log x)e^{− log^{2} x}, F (x) = ∫_{1}^{e^{x}} f(t)dt,

ambas definidas en (0, +∞).

(a) Calcular F.

(b) Clasificar ∫_{0}^{+∞} f(t)dt

(c) Clasificar las series

∑ F (n), ∑ F (1/n).

(d) Clasificar las series

∑ a_{n}, ∑(−1)^{n}a_{n},

siendo a_{n} = ∫_{0}^{1/\sqrt{n}} F (x)dx.