Centro de Matemática. 10 de marzo de 2003

Examen de Cálculo I

Ejercicio 1. (a) Si la función h(t) tiene derivada segunda continua en el intervalo [0, ∞), mostrar que para todo x ≥ 0 tiene lugar la igualdad

∫_{0}^{x} t^{2}h′′(t)dt = x^{2}h′(x) − 2xh(x) + 2 ∫_{0}^{x} h(t)dt.

(b) Si h(t) = 1/(t^{2} + 3t + 2), (i) calcular ∫_{0}^{x} t^{2}h′′(t)dt, y (ii) clasificar y calcular (en caso de convergencia) ∫_{0}^{∞} t^{2}h′′(t)dt.

(c) Calcular el volumen de revolución alrededor del eje Oy generado por h(t) en el intervalo [0, 1].

(d) Dar una condición en función del comportamiento asintótico (límite en +∞) de h y h′ para que las integrales impropias ∫_{0}^{∞} t^{2}h′′(t)dt y ∫_{0}^{∞} h(t)dt tengan el mismo comportamiento. Fundamentar.

Ejercicio 2. (a) Hallar la solución general, en el intervalo (−π/2, π/2), de la ecuación diferencial

ẍ cos t − 2ẋ sen t = 1 − 3 sen^{2} t,

sabiendo que admite alguna solución de la forma x(t) = A cos t.

(b) Hallar la solución f(t) tal que f(0) = 0, f′(0) = 1.

(c) Para la función hallada en (b), calcular

lim_{t→0} \frac{f(t) − t − Bt^{2}}{t^{α}}

discutiendo según B y α > 0 reales.

Ejercicio 3. Se considera la sucesión a_{1}, a_{2}, … donde a_{n} es el n-ésimo número natural que contiene alguna cifra igual a 9. Es decir

a_{1} = 9, a_{2} = 19, …, a_{9} = 89, a_{10} = 90, a_{11} = 91, …, a_{19} = 99, a_{20} = 109, a_{21} = 119, …

(a) Escribir los primeros 22 términos de la sucesión {a_{n}}.

(b) Demostrar que

\frac{1}{a_{10}} + \frac{1}{a_{11}} + ⋯ + \frac{1}{a_{19}} ≥ \frac{10}{99}.

(c) Determinar si existe algun natural N tal que

\frac{1}{a_{N}} + \frac{1}{a_{N+1}} + ⋯ + \frac{1}{a_{N+99}} ≥ \frac{100}{999}.

(d) Clasificar la serie

\frac{10}{99} + \frac{100}{999} + \frac{1000}{9999} + ⋯

(e) Clasificar la serie

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + · · · .