Examen de Cálculo 1 Marzo de 2002

(I) (a) Hallar una primitiva de

f(t) = \frac{1}{t^{2}} \sqrt{\frac{t + 1}{t − 1}}

Se sugiere hacer el cambio de variable: u = \sqrt{\frac{t+1}{t−1}}.

(b) Clasificar la integral impropia ∫_{1}^{+∞} f y, en caso de convergencia, calcular su valor.

(II) Consideremos la función F dada por:

F (x) = ∫_{x^{2}}^{x} e^{−t^{2}} dt .

(a) Calcular lim_{x⟶+∞} F (x) y lim_{x⟶0} F (x).

(b) Hallar el desarrollo de Mac Laurin de orden 2 de F y calcular lim_{x⟶0} \frac{F (x) − x}{x^{2}}

(c) Clasificar las siguientes series:

∑ F (\frac{1}{n})  ∑(−1)^{n} F (\frac{1}{n})  ∑ n^{α} e^{−n} F (\frac{1}{n})  (α ∈ ℝ).

(III) Consideremos las ecuaciones diferenciales en t > 0 : (E) t^{3}ẋ + 2t^{2}x = 3t^{3} + 1 (E′) t^{4}ẍ − 6t^{2}x = −6t^{3} − 5

(a) Sin resolver la ecuación (E), probar que toda solución de (E) también es solución de (E′).

(b) Hallar la solución general de (E).

(c) Hallar la solución general de la ecuación homogénea t^{4}ẍ − 6t^{2}x = 0 buscando soluciones de la forma x(t) = t^{α}.

(d) Hallar la solución general de (E′).