Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2000 Facultad de Ciencias. Centro de Matemática

Examen. 6 de marzo del 2001

1. (a) Calcular la integral:

∫_{0}^{π/2} \frac{cos x}{5 + 4 cos x} dx.

(b) Hallar una primitiva de la función

f(x) = \frac{L(sen x)}{tg x}.

2. Consideremos la ecuación

(E) t^{2} ẍ + t ẋ + ω^{2} x = 0

con t > 0 y ω > 0.

(a) Mostrar que mediante el cambio de variable u = L t la ecuación (E) se transforma en una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes.

(b) Hallar la solución general de (E). Hallar todas las soluciones que cumplan x(1) = 0.

(c) Hallar todos los valores de ω para los cuales (E) admite soluciones no triviales

que se anulen en 1 y e.

3. Consideramos la función

f(t) = \frac{e^{−t}}{t} .

(a) Clasificar las integrales ∫_{0}^{+∞} f(t) dt e ∫_{−∞}^{−1} f(t) dt.

(b) Sea φ(x) = ∫_{1}^{x} f(t) dt. Probar que φ es solución de

\begin{cases}y′′ = −\frac{x+1}{x}y′ \\ y(1) = 0. \end{cases}

¿Es la única? En caso negativo, hallar otras dos.

(c) Clasificar las series:

i. ∑_{n=1}^{+∞} φ(n)
ii. ∑_{n=1}^{+∞} φ(1 + \frac{1}{n})
iii. ∑_{n=1}^{+∞}(−1)^{n}φ(1 + \frac{1}{n})