Centro de Matemática. 4 de agosto de 2003 Examen de Cálculo I

Ejercicio 1. Consideremos f: ℝ → ℝ dada por

f(x) = e^{x} log (e^{2x} + 5e^{x} + 6).

Clasificar, y calcular en caso de convergencia, las siguientes integrales impropias:

(a) ∫_{0}^{+∞} f(x)dx, (b) ∫_{−∞}^{0} f(x)dx, (c) ∫_{−∞}^{+∞} f(x)dx, (d) ∫_{−∞}^{0} \frac{f(x)}{x}dx,

Ejercicio 2.

(a) Probar que ∫_{a}^{+∞} \frac{dx}{sh x} converge, si a > 0, y calcular su valor.

(b) Clasificar las series

∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{+∞} \frac{dx}{sh x},  y  ∑_{n=2}^{∞} ∫_{log n}^{+∞} \frac{dx}{sh x}.

(c) Hallar el polinomio de Mac Laurin de sh x(1 − cos x) hasta el término de grado 4.

(d) Clasificar las series

∑_{n=1}^{∞} sh (\frac{1}{n})(1 − cos (\frac{1}{n})),  ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1} sh (\frac{1}{n}).

Ejercicio 3. Se consideran las sucesiones (a_{n}) y (b_{n}), n ≥ 1, dadas por

a_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ⋯ + \frac{1}{2n}, b_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2n}.

(a) Demostrar que (a_{n}) es monótona creciente, y (b_{n}) monótona decreciente.

(b) Demostrar que a_{n} ≤ b_{n}, y que lim_{n→∞} (b_{n} − a_{n}) = 0.

(c) Demostrar que existe L = lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n}, y que se verifica \frac{1}{2} < L < 1.