Centro de Matemática. 24 de julio de 2002

Examen de Cálculo I

Ejercicio 1. Consideremos la función f dada por:

f(t) = \frac{t − 4}{t (t^{2} + 4)}

(a) Para cada x > 0 calcula ∫_{1}^{x} f(t) dt.

(b) Clasifica ∫_{1}^{+∞} f y, en caso de convergencia, calcula su valor.

(c) Clasifica ∫_{0}^{+∞} f y, en caso de convergencia, calcula su valor.

(d) Clasifica las series: ∑(−1)^{n} f(n) ∑ f(n) e^{−n}

Ejercicio 2. Sea f(x) una función continua y tres veces derivable, que verifica

f(0) = 1, f′(0) = −1/2.

Considera la función g(x), definida mediante

g(x) = xf(x) + ∫_{0}^{x^{2}} f(t)dt.

(a) Calcular g′(x) y g′′(x).

(b) Calcula el polinomio de Mac Laurin de orden 2 de la función g(x), y halla el valor de a

de forma que

lim_{x→0} \frac{g(x) − ax}{x^{2}} = \frac{1}{2}.

(c) Sea b_{n} = g(1/n)−a/n (para el valor de a hallado en la parte anterior). Clasifica las series

∑_{n=1}^{∞} nb_{n},  ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}b_{n}.

(d) Para el mismo valor de a, clasifica la integral impropia

∫_{0}^{1} \frac{dx}{g(x) − ax}.

Ejercicio 3. Consideremos la ecuación diferencial:

(E) t^{2} ẍ + 3t ẋ + x = 0

(a) Encuentra una solución de la forma x_{1}(t) = \frac{1}{at+b} (en donde a y b son constantes) tal que x_{1}(1) = 1.

(b) Encuentra la solución general de (E) usando el cambio de variable: x(t) = x_{1}(t)u(t).

(c) Sea g la solución de (E) que verifica g(e) = 1/e y g′(e) = 0. Consideremos la región A = { (x, y) / e < x < e^{2}, 0 < y < g(x) }. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región A alrededor del eje Ox.