Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2001.

Examen de Cálculo 1 Julio de 2001

(I) (3 puntos) Consideremos la función f : ℝ ⟶ ℝ dada por:

f(t) = \frac{2 e^{t}}{(e^{t} + 3) (e^{t} + 5)}

(a) Calcula F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt ∀ x ∈ ℝ.

(b) Clasifica ∫_{0}^{+∞} f(t) dt y en caso de convergencia calcula su valor.

(c) Clasifica ∫_{−∞}^{+∞} f(t) dt y en caso de convergencia calcula su valor.

(II) (4,5 puntos) Consideremos la ecuación diferencial:

(E) t^{2} ẋ = −x − \frac{1}{t} (t > 0).

(a) Encuentra la solución f(t) de dicha ecuación que cumple f(1) = e − 2. Verifica.

(b) Clasifica ∑ f(n) (recuerda el desarrollo de Mac Laurin de e^{x}).

(c) Clasifica ∫_{0}^{+∞} f(t) dt

(III) (2,5 puntos) Clasifica las siguientes series:

(i) ∑ \frac{n^{2}e^{n} + 4n^{3}}{e^{2n} + Ln}  (ii) ∑ \frac{2 + 3(−1)^{n}}{2^{n}}  (iii) ∑ \frac{Arctg(nx)}{n^{2}} (x ∈ ℝ).

(IV) (2 puntos) (a) Demuestra que para cada p > 0 se cumple que lim_{n⟶+∞} ∫_{n}^{n+p} \frac{sen x}{x} dx = 0.

(b) Demuestra que el área de la región D = { (x, y) / 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ e^{−x^{3}} } está comprendida entre e^{−1} y \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + (1 − \sqrt[3]{\frac{2}{3}}) e^{2/3}.