Centro de Matemática 2 de febrero de 2003 Examen de Cálculo I

Ejercicio 1. Se considera F: ℝ → ℝ definida mediante

F (x) = ∫_{x}^{x+1} e^{−t^{2}}dt.

(a) Estudiar lim_{x→+∞} F (x) y lim_{x→−∞} F (x).

(b) Estudiar el signo de F′(x) y bosquejar el gráfico de F (x).

(c) Clasificar la integral impropia

∫_{−∞}^{+∞} F (x)dx.

Ejercicio 2. (a) Hallar el polinomio de Mac Laurin de grado 5 de la función

f(x) = tan x(1 − cos x),

y determinar α real para que f(x) − αx^{3} sea un infinitésimo del mayor orden posible.

(b) Para el valor de α hallado, clasificar, discutiendo según β real, la integral

∫_{0}^{π/4} \frac{f(x) − αx^{3}}{x^{β}} dx.

(c) Calcular la integral

∫_{0}^{π/4} f(x)dx.

Ejercicio 3. (a) Demostrar que

∫_{π}^{x} \frac{sen t}{\sqrt{t}}dt = 2 ∫\begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} sen(t^{2})dt.

(b) Demostrar que

a_{n} = ∫_{nπ}^{(n+1)π} \frac{sen t}{\sqrt{t}}dt → 0 (n → ∞).

(c) Clasificar:

∑_{n=1}^{∞} a_{n},  ∫_{π}^{∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}}dt,  ∫\begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} sen(t^{2})dt.

(d) ¿Es cierto que si ∫_{a}^{∞} f(x)dx es convergente, entonces f(x) → 0 (x → ∞)?