Examen de Cálculo 1 Febrero de 2002

(I) (a) Calcular:

∫_{1}^{+∞} \frac{1}{t^{4} + t^{2} + 1} dt

(Se sugiere observar que t^{4} + t^{2} + 1 = (t^{2} + t + 1)(t^{2} − t + 1) ).

(b) Calcular:

∫ \frac{π}{2} ; \frac{π}{4} \frac{cos^{2}x}{sen^{4}x + cos^{2}x} dx

(Se sugiere hacer el cambio de variable t = tg(x) con lo cual resulta cos^{2}x = \frac{1}{1+t^{2}} ).

(II) Sea f dada por:

f(t) = e^{−t} cos^{2} (e^{−t})

(a) Probar que ∫_{0}^{+∞} f(t) dt converge.

(b) Calcular: a_{n} = ∫_{n}^{+∞} f(t) dt y ∫_{n}^{n+2} f(t) dt.

(c) Clasificar las series:

∑ a_{n}  ∑ b_{n}  ∑(−1)^{n} a_{n}  ∑ \frac{(−1)^{n}}{a_{n}}

(III) Consideremos la ecuación diferencial:

(E) ẍ = a(t) x + b(t) ẋ (t ∈ ℝ).

en donde a(t) y b(t) son funciones continuas en todo ℝ. Se sabe que (E) admite una solución w(t) tal que u(t) = e^{w(t)−1} también es solución.

(a) Mostrar que w(t) verifica la relación:

ẇ(t)^{2} = a(t) (1 − w(t)) ∀ t ∈ ℝ.

(b) Si se sabe además que w(0) = 1, deducir que ẇ(0) = 0, u(0) = 1 y u̇(0) = 0.

(c) Según las partes anteriores tenemos que w(t) y u(t) son dos soluciones de (E) definidas en todo ℝ y que cumplen las mismas condiciones iniciales (u(0) = w(0) y u̇(0) = ẇ(0)). Resulta entonces (unicidad de soluciones) que u(t) = w(t), ∀t ∈ ℝ. Determinar w(t) y probar que a(t) = 0, ∀t ∈ ℝ.