Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2000 Facultad de Ciencias. Centro de Matemática

Examen. 23 de enero del 2001

1. (a) Calcular

∫_{0}^{x} \frac{2t − 3}{(t^{2} + 4)(t + 1)} dt, x > 0.

(b) Calcular el valor de

∫_{0}^{+∞} \frac{2t − 3}{(t^{2} + 4)(t + 1)} dt

(c) Clasificar

∫_{−∞}^{+∞} \frac{2t − 3}{(t^{2} + 4)(t + 1)} dt

2. (a) Hallar una función f tal que

f′(x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt para todo x ∈ R y f(0) = 1.

En todo lo que sigue f es la función hallada en esta parte.

(b) Clasificar

∑_{n=1}^{+∞} [f (\frac{1}{n}) − 1]

(c) Clasificar

∑_{n=1}^{+∞} [f (\frac{1}{\sqrt{n}}) − 1]^{2}

(d) Probar que f : (0, +∞) ⟶ (1, +∞) tiene inversa y calcular (f^{−1})′ (\frac{e+e^{−1}}{2} )

3. Sea a_{n} = ∫_{−∞}^{+∞} x^{n}e^{−x^{2}} dx.

(a) Probar que

∫_{−∞}^{+∞} x^{n}e^{−x^{2}} dx

converge para todo n ≥ 0.

(b) Probar que a_{n} = 0 si n es impar y hallar una fórmula de recurrencia para los n pares. Hallar a_{2k} en función de a_{0}.

(c) Clasificar las tres series: ∑_{n=0}^{+∞} a_{2n}, ∑_{n=0}^{+∞} a_{2n+1} y ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}.