Centro de Matemática 9 de diciembre de 2003 Examen de Cálculo I

Ejercicio 1.

(a) Sea a_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} para n = 1, 2, . . .. Clasificar la series (i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n^{α}}, discutiendo según α real.

(ii) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1}a_{n}.

(b) Demostrar, que para todo x > 0 se verifica

Artan (\frac{1}{x^{2} + x + 1}) = Artan (\frac{1}{x}) − Artan (\frac{1}{x + 1}).

(c) Dado el término general

b_{n} = Artan (\frac{1}{n^{2} + n + 1}),

verificar que la serie ∑_{n=1}^{∞} b_{n} es telescópica, clasificarla, y sumarla si corresponde.

Ejercicio 2. Consideremos f: [a, ∞) → ℝ.

(a) Demostrar, que si ∫_{a}^{+∞} f(t)dt converge, entonces, para cualquier δ > 0, ∫_{x}^{x+δ} f(t)dt tiende a cero cuando x tiende a +∞.

(b) Probar que

∫_{π/2}^{x} t^{α} sen tdt = −x^{α} cos x − α ∫_{π/2}^{x} t^{α−1} cos tdt

y deducir que si α < 0 entonces ∫_{π/2}^{+∞} t^{α} sen tdt converge.

(c) Probar que si α ≥ 0 entonces

∫_{π/2}^{+∞} t^{α} sen tdt

no converge. Sugerencia: observar que si

2nπ + \frac{π}{4} ≤ t ≤ (2n + 1)π − \frac{π}{4} entonces sen t ≥ 1/\sqrt{2}.

Ejercicio 3.

(a) Hallar el polinomio de Mac Laurin de orden 2 de la función f(x) = \sqrt{1 + x}.

(b) Se consideran p + 1 números reales a_{0}, a_{1}, …, a_{p} cuya suma es cero, es decir a_{0} + a_{1} + ⋯ + a_{p} = 0.

Probar que

lim_{n} [a_{0}\sqrt{n} + a_{1}\sqrt{n + 1} + ⋯ + a_{p}\sqrt{n + p}] = 0.

Sugerencia: Tomar factor común \sqrt{n} y estudiar \sqrt{1 + j/n} (j = 1, …, p).