Centro de Matemática. 9 de agosto de 2002

Examen de Cálculo I

Ejercicio 1.

(a) Calcula ∫_{1}^{x} t^{2}e^{−t}dt, y clasifica ∫_{1}^{∞} e^{−t}(t^{2} + 8t + 7)dt.

(b) Calcula ∫_{1}^{x} t^{3}e^{−t^{2}}dt, y clasifica ∫_{−∞}^{∞} \frac{t^{4}}{1 + t}e^{−t^{2}}dt.

(c) Calcula ∫_{1}^{x} \frac{log t}{1 + (log t)^{2}} \frac{dt}{t}, y clasifica ∫_{0}^{∞} \frac{log t}{1 + (log t)^{2}} \frac{dt}{t}.

Ejercicio 2. Consideremos la ecuación diferencial:

(E) (t^{2} + 1) ẍ + k t ẋ = t^{3} + t k ≠ 0.

(a) Mostrar que (E) admite soluciones polinómicas de tercer grado, excepto para un valor de la constante k (distinto de cero) que se hallará.

(b) Hallar la solución general de (E) para k = 1.

(c) Sea f la solución de (E) hallada en la parte anterior que verifica f(0) = 0 y ḟ(0) = 1. Hallar el polinomio de Mac Laurin de orden 3 de f.

Ejercicio 3.

(a) Sea (p_{k})_{k≥1} una sucesión de reales positivos. Probar que las series ∑ p_{k} y ∑ L(1 + p_{k}) tienen el mismo comportamiento.

(b) Sea (p_{k})_{k≥1} una sucesión de reales positivos y consideremos la sucesión (B_{n})_{n≥1} definida

por:

B_{n} = ∏_{k=1}^{n}(1 + p_{k}) = (1 + p_{1}).(1 + p_{2}). . . . . (1 + p_{n})

(i) Probar que (B_{n}) es monótona creciente.

(ii) Demostrar que (B_{n}) tiene el mismo comportamiento que la serie ∑_{k=1}^{∞} p_{k} .

(c) Determinar la convergencia, discutiendo según α real, de la sucesión

B_{n} = ∏_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{n^{α}} ), n = 1, 2, …