Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2001.

Examen de Cálculo 1 agosto de 2001

(I) ( puntos)

(a) Calcula las siguientes integrales:

∫_{1}^{e} \frac{1}{x} sen^{3}(1 + Lx) dx ∫_{2}^{4} \frac{1}{(2x^{2} + 1) (x − 1)} dx

(b) Clasifica:

∫_{1}^{+∞} \frac{1}{x} sen^{3}(1 + Lx) dx  ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(2x^{2} + 1) (x − 1)} dx  ∫_{2}^{+∞} \frac{1}{(2x^{2} + 1) (x − 1)} dx

(II) ( puntos) Consideremos la ecuación diferencial:

(E) ẍ − ẋ − 2x = 3 e^{2t}

(a) Encuentra la solución general de (E) sabiendo que admite una solución particular de la forma x_{p}(t) = Ate^{2t}.

(b) Sea f(t) la solución de (E) tal que f(0) = 0 y ḟ(0) = −2. Encuentra el desarrollo de Mac Laurin de orden 2 de f y clasifica la serie:

∑ n^{α} [f (\frac{1}{n}) + \frac{2}{n}]

discutiendo según α ∈ ℝ.

(III) ( puntos) Consideremos la sucesión (a_{n})_{n≥0} definida por:

a_{0} = 0 a_{n+1} = \sqrt{4 + 3a_{n}}, ∀n ≥ 0.

(a) Demuestra que (a_{n}) es monótona creciente y que está acotada superiormente por 4. ¿(a_{n}) converge? En caso afirmativo, calcula su límite.

(b) Clasifica la serie:

∑ (\frac{cos n}{n^{2}} + (−1)^{n}(4 − a_{n}))

(IV) ( puntos) Sea f una función con derivada continua en [0, 1], tal que f(1) = 1, f(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [0, 1], f′(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [0, 1] que verifica:

∫_{0}^{x} t f′(t) dt ≥ \frac{x^{2}}{2} ∀x ∈ [0, 1].

(a) Demuestra que, para cada x ∈ [0, 1] se cumple:

F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt ≤ min\{ x , 1 − \frac{x^{2}}{2} \}

(b) Clasifica las series:

(i) ∑ [ F (1 − \frac{1}{n^{2}} ) − F (\frac{1}{n^{2}} ) ] (ii) ∑ f (1 − \frac{1}{n^{2}} )