Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2000 Facultad de Ciencias. Centro de Matemática

Examen. 14 de agosto del 2000

1. (a) Haciendo la sustitución u = \sqrt{t + 1} calcular

∫_{1}^{x} \frac{1}{t\sqrt{t + 1}} dt, x > 0.

(b) Demostrar que ∫_{1}^{+∞} 1/(t\sqrt{t + 1}) dt converge y calcular su valor.

(c) Encontrar cotas para la suma de la serie

∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n\sqrt{n + 1}}.

(d) Demostrar que

∫_{x}^{1} \frac{1}{\sqrt{t(t + 1)}} dt = ∫_{1}^{1/x} \frac{1}{t\sqrt{t + 1}} dt

para todo x > 0 y calcular ∫_{0}^{1} 1/\sqrt{t(t + 1)} dt.

2. Consideremos la ecuación diferencial

(E) ẋ = sen x.

(a) Hallar la solución de (E) con condición inicial x(0) = π.

(b) Hallar la solución de (E) con condición inicial x(0) = π/2.

(c) Probar que toda solución de (E) también es solución de la ecuación de segundo orden ẍ = sen x cos x. Hallar una ecuación de tercer orden que sea satisfecha por cualquier solución de (E).

(d) Encontrar el desarrollo de Taylor de orden 3 en 0 de la solución hallada en (b).

(e) Calcular x(1/10) con un error menor que 1/100.

3. Sea

I_{n} = ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n} x dx.

(a) Probar que I_{n} converge para todo n ≥ 1.

(b) Probar que lim_{n→+∞} I_{n} = 0.

(c) Probar que para todo n ≥ 2 se cumple

I_{n} = \frac{1}{2n} + \frac{n − 1}{2n} ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n−2} x dx.

(d) Clasificar las series ∑ I_{n}^{2} y ∑(I_{n}/n).