Cálculo estocástico y aplicaciones (2014 - semestre II)

Cronograma del curso 2014

1. (martes 19 de agosto) Presentación del curso. Vectores Gaussianos. Definición y propiedades. Definición del Movimiento Browniano
2. Movimiento Browniano. Equivalencias en su definición. Construcción con la base de Haar.
3. Propiedades de las trayectorias del Movimiento Browniano. Variación primera y cuadrática. No diferenciabilidad de las trayectorias.
4. Martingalas. Definición y propiedades. Tiempos de parada. Teorema del muestreo opcional (enunciado). Principio de reflexión para el Browniano. Ley del logartimo iterado para el movimiento browniano.
5. Ley del logaritmo iterado (fin de la demostración). Integral de Ito: motivación. Procesos progresivamente medibles. Clase H(2).
6. Integral estocástica de un proceso simple. Propiedades. Densidad de los procesos simples en H(2). Integral estocástica en H(2). Definición y propiedades.
7. Ejemplo de integral estocástica (integración de un browniano respecto de si mismo). Propiedades de la integral estocástica. Desigualdades de Doob para martingalas (con demostraciones). Integral estocástica como proceso (con límite superior de integración variable). Teorema: La integral estocástica es una martingala con trayectorias continuas.
8. Clase L(2) de integrandos. Desigualdad tipo Doob para el supremo de la integral. Generalización de la integral estocástica en la clase L(2). Fórmula de Ito para f(B(t)). Demostración en C(3).
9. Fórmula de Ito. Demostración general. Fórmula de Ito para f(t,B(t)) (enunciado).Fórmula de Ito para f(t,X(t)) y X(t) proceso de Ito. Demostración.
10. Problema de una barrera para el proceso de Wiener con tendencia negativa. Comentarios sobre la integral de Stratonovich.
11. Teorema de Girsanov. Lema de caracterizición del movimiento Browniano. Lema de la martingala exponencial. Teorema de Girsanov (1) para el browniano con tendencia lineal.
12. Teorema de Girsanov (2) para el browniano con tendencia estocástica. Ecuaciones diferenciales estocásticas. Ejemplo. Demostración de la unicidad.
13. Ecuaciones diferenciales estocásticas. Ejemplo. Demostración de la existencia de soluciones.
14. Solución probabilística de la ecuación del calor. Método de Euler para la solució numérica de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Análisis del error.
15. Método de Euler para la solució numérica de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Demostración de la convergencia en media cuadrática.
16. Discusión sobre la convergencia del método de Euler.
17. Modelo de Black-Scholes en matemática financiera. Fórmula de Black-Scholes. Demostración con portafolios autofinanciantes.
18. Opciones americanas y europeas. Teorema de Merton para opciones de compra americanas sin dividendos.
19. Demostración del teorema de Merton para opciones americanas perpetuas con dividendos.
20. Procesos de Lévy. Proceso de Poisson. Definición y primeras equivalencias.
21. Proceso de Poisson. Teorema de caracterización.
22. Proceso de Poisson compuesto. Teorema de Lundberg para la probabilidad de ruina de un proceso de poisson compuesto con saltos exponenciales.
23. Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles. Teorema de Lévy Khinchine (solo enunciados)
24. Algunos cálculos con procesos de Lévy. Representación del proceso general como suma de una tendencia, un movimiento browniano escalado y un límite de procesos de poisson compuestos.
25. Procesos estables. Cálculo de la función característica.
26. Ejemplos de procesos de Lévy, cálculo del exponente caracterí,stico y algunas propiedades. Movimiento browniano, proceso de poisson, proceso de poisson compuesto. Modelos de Merton y de Kou.
27. Distribución del máximo de un proceso de Lévy. Teorema de Zolotarev (distribución del máximo de un proceso sin saltos positivos. Enunciado del teorema del máximo para un proceso con saltos positivos exponenciales y saltos negativos arbitrarios. Generalizaciones a saltos positivos de tipo fase y con transformada de Laplace racional.

Bibliografía del Curso.

• Andrey N. Borodin. Lectures on Stochastic Processes. Abo Akademi (Turku), 2005 - 138 pages (para integración estocástica.)
• Petrov-Mordecki. Teoría de la Probabilidad. Dirac, Facultad de Ciencias (2a. ed.). 2008
• Notas de curso: construcción del proceso de Wiener, propiedades, principio de relfexión.
• Billingsley. Probability and Measure (2nd edition). (No diferenciabilidad de las trayectorias del movimiento browniano)
• Ash. Probability and Measure. (Ley del logaritmo iterado)