Apoyo al curso de Álgebra Lineal II - 2020

Segundo Semestre de 2020

HORARIO: las reuniones serán los jueves entre 15:00 y 16:30.

LUGAR:  Salón doble 202-204 de la Facultad de Ciencias.

• Semana 1   (Jueves 27 de agosto).   Sumas directas de subespacios vectoriales.

  Operaciones con subespacios vectoriales. Intersección de subespacios, subespacio generado por un subconjunto. Suma de subespacios vectoriales. Ejemplos. La intersección y la suma son operaciones asociativas, conmutativas, para las cuales hay un neutro y también un elemento absorbente. Enunciado del teorema que relaciona las dimensiones de la suma y la intersección de dos subespacios con la suma de las dimensiones de dichos subespacios: \[\operatorname{dim}\,(W_1+W_2)+\operatorname{dim}\,(W_1\cap W_2)=\operatorname{dim}\,W_1+\operatorname{dim}\,W_2.\]
  
  Sumas directas y familias independientes de subespacios. Definiciones equivalentes de suma directa: si \(W_1,\ldots,W_k\) son subespacios vectoriales de dimensión finita de \(V\) y \(W:=W_1+\cdots +W_k\), entonces las afirmaciones siguientes son equivalentes:
  • La suma es directa: \(W_1+\cdots +W_k=W_1\oplus\cdots \oplus W_k\)
  • Si \(0=w_1+\cdots +w_k\), con \(w_i\in W_i\) \(\forall i=1,\ldots,k\), entonces \(w_i=0\) \(\forall i=1,\ldots,k\)   (la familia \(\{W_1,\ldots,W_k\}\) es independiente)
  • Para todo \(l=1,\ldots,k\) se tiene \( W_l \cap (W_1+\cdots+W_{l-1}+W_{l+1}+\cdots+W_k)=0\).
  • Para todo \(l\) tal que \(k\geq l>1\) se tiene \( W_l \cap (W_1+\cdots+W_{l-1})=0\).
  • \(\operatorname{dim}\,W=\operatorname{dim}\,W_1+\cdots +\operatorname{dim}\,W_k\).
  • Si \(\beta_i\) es base de \(W_i\) para cada \(i=1,\ldots,k\), entonces \(\beta:=\beta_1\cup\cdots\cup\beta_k\) es base de \(W\)
  Ejemplos: el espacio de los polinomios de grado menor o igual que \(n\) es la suma directa de su subespacio de polinomios pares y su subespacio de polinomios impares. Del mismo modo, el espacio de las matrices cuadradas de tamaño \(n\) es la suma directa de su subespacio de matrices simétricas y su subespacio de matrices antisimétricas. Más en general, si \(T:V\to V\) es una transformación lineal tal que \(T^2=Id\), entonces \(V=\ker(T-Id)\oplus\ker(T+Id)\), ya que cada \(v\in V\) se escribe de forma única como \[v=\frac{1}{2}(v+Tv)+\frac{1}{2}(v-Tv)\] en tal descomposición.

• Semana 2   (Jueves 3 de setiembre).   Inversión de matrices, y matrices asociadas a transformaciones lineales.

  Distintas formas de ver el producto de matrices. Si \(C=AB\), entonces las columnas de \(C\) son combinaciones lineales de las columnas de \(A\) de acuerdo a las entradas de \(B\), y las filas de \(C\) son combinaciones lineales de las filas as de \(B\) de acuerdo a las entradas de \(A\). Operaciones elementales en las filas de una matriz: (I) multiplicación de una fila por un escalar no nulo; (II); (III) suma de un múltiplo de una fila a otra fila. Cálculo de la inversa a través de operaciones elementales. Matrices elementales: son las que se obtienen aplicando las operaciones elementales a la matriz identidad. Son invertibles. Una matriz es invertible si y sólo si es producto de matrices elementales.
  Cada \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{K})\) define una transformación lineal \(L_A:\mathbb{K}^n\to \mathbb{K}^m\), dada por \(L_A(x):=Ax\). Cualquier transformación lineal entre espacios de dimensión finita se puede identificar con transformaciones de este tipo, siguiendo los pasos siguientes. Supongamos que \(\alpha:=\{v_1,\ldots,v_n\}\) es una base del espacio vectorial \(V\). Dado \(v\in V\), existen únicos \(x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{F}\) tales que \(v=x_1v_1+\cdots+x_nv_n\), lo que permite definir \(C_\alpha:V\to\mathbb{K}^n\) como \(C_\alpha(v)=(x_1,\ldots,x_n)\). Resulta que \(C_\alpha\) es un isomorfismo entre los espacios vectoriales \(V\) y \(\mathbb{F}^n\). Además es claro que la imagen de la base \(\alpha\) a través de \(C_\alpha\) es la base canónica \(c_n\) de \(\mathbb{F}^n\). Supongamos ahora que \(\beta:=\{w_1,\ldots,w_m\}\) es una base del espacio vectorial \(W\), y que \(T:V\to W\) es lineal. La matriz asociada a \(T\) en las bases \(\alpha\) y \(\beta\) es la matriz \({}_\beta[T]_\alpha\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) cuya \(j\)-ésima columna es \(C_\beta(T(v))\), \(\forall j=1,\ldots,n.\) Llamando \(A={}_\beta[T]_\alpha\), se tiene entonces que \(T=C_\beta^{-1} \circ L_A\circ C_\alpha\). Se tiene también que si \(S:W\to Z\) es otra transformación lineal y \(\gamma\) es una base de \(Z\), entonces \({}_\gamma[S\circ T]_\alpha={}_\gamma[S]_\beta{}_\beta[T]_\alpha\). En particular se deduce que, si \(V=Z\) y \(\alpha=\gamma\), y si \(T\) es invertible, entonces \({}_\beta[T]_\alpha^{-1}={}_\alpha[T^{-1}]_\beta\)
  

• Semana 3   (Jueves 10 de setiembre).   Números complejos. Rango de una matriz y formas de calcularlo.

  Los números complejos surgen de la necesidad de satisfacer la correspondencia debida entre soluciones a problemas geométricos y sus correspondientes algebraicos. Se necesita un "número" \(i\) tal que \(i^2=-1\). Estructura de cuerpo de \(\mathbb{C}\). Módulo y argumento. Conjugación. Representaciones cartesiana y polar de un número complejo. Interpretación geométrica de la suma y del producto de números complejos. Estructuras de espacio vectorial de \(\mathbb{C}\). Distancia y convergencia de números complejos. La función exponencial y la fórmula de Euler. Se puede ver \(\mathbb{C}\) dentro de \(M_2(\mathbb{R})\) a través del mapa \(a+bi\mapsto\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\); a través de dicho mapa la suma y el producto de números complejos se transforman en la suma y el producto de las matrices correspondientes, y la conjugación en la transposición.
  
  Rango de una transformación lineal. El rango por filas de una matriz coincide con el rango por columnas. El rango de una transformación lineal coincide con el rango de cualquiera de sus matrices asociadas. El rango de una composición de transformaciones es menor o igual a al rango de cualquiera de las transformaciones involucradas. Del mismo modo, \(\mathsf{rango}(AB)\leq \mathsf{rango}(A)\) y \(\mathsf{rango}(AB)\leq \mathsf{rango}(B)\). El rango es invariante por composición con isomorfismos; al nivel de matrices, si \(B\) es invertible, entonces \(\mathsf{rango}(AB)=\mathsf{rango}(A)=\mathsf{rango}(BA)\). El Si \(A\in M_{m\times n}\) y \(r=\mathsf{rango}(A)\), entonces existen matrices invertibles \(P\in M_m\) y \(Q\in M_n\) tales que \(PAQ=\begin{pmatrix}Id_r&0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(m-r)\times r}&0_{(m-r)\times (n-r)}\end{pmatrix}\). Cálculo del rango usando determinantes de submatrices: el rango de \(A\) es el mayor tamaño de las submatrices cuadradas de \(A\) cuyo determinante es no nulo. Ejemplos y ejercicios varios.

• Semana 4   (Jueves 17 de setiembre).   SUSPENDIDA POR EL PARO GENERAL

• Semana 5   (Jueves 24 de setiembre).   Dualidad.

  Funcionales lineales y ejemplos: traza de matrices, integral de una funciones continuas, producto escalar con un vector fijo, etc. Espacio dual. Base dual \(\beta^*\) de una base dada \(\beta\). El vector \(j\)-ésimo de \(\beta^*\) es la función "coordenada \(j\)-ésima" en la base \(\beta\). Expresiones de un vector y de una funcional en términos de una base y su dual. Espacio bidual. La evaluaci\'on como isomorfismo natural. Bases biduales. Toda base de un dual es una base dual. Mapas duales y matrices transpuestas.

• Semana 6   (Jueves 1º de octubre).   Sumas directas y proyecciones.

  Se dice que una transformación lineal \(P:V\to V\) es una proyección si \(P^2=P\). En ese caso, si \(v\in V\), entonces \(v-P(v)\in\ker P\) y \(P(v)\in \textrm{im}\,P,\) y como \(v=(v-P(v))+P(v)\), se deduce que \(V=\ker P+\textrm{im}\,P\). Además \(\ker P\cap\textrm{im}\,P=0\), porque si \(v\) está en dicha intersección, entonces \(v=P(v)=0\). Es decir que \(V=\ker(P)\oplus\textrm{im}\,P\). De esta forma cada proyección \(P\) induce una descomposición de \(V\) en suma directa; se dice que \(P\) es la proyección sobre \(\textrm{im}P\) a lo largo de \(\ker P\). Recíprocamente, cada descomposición \(V=W\oplus Z\) corresponde a la proyección sobre \(Z\) a lo largo de \(W\), es decir, existe una proyección \(P:V\to V\) (que es única por añadidura) tal que \(W=\ker P\) y \(Z=\textrm{im}\,P\). En efecto, basta definir \(P\) del modo siguiente: teniendo en cuenta que cada \(v\in V\) se escribe de manera única como \(v=w+z\) con \(w\in W\) y \(z\in Z\), se define \(P(v)=z\). De hecho, dada la descomposición \(V=W\oplus Z\), también se podría definir la proyección \(Q\) sobre \(W\) a lo largo de \(Z\) dada -siguiendo con la misma notación- por \(Q(v)=w\). Como \(Id(v)=v=w+z=Q(v)+P(v)=(P+Q)(v),\ \forall v\in V\), se tiene que \(Id=P+Q\), es decir \(Q=Id-P\). En particular se tiene \(PQ=QP=0.\)
  
  Veamos una interpretación geométrica de la proyección sobre \(Z\) a lo largo de \(W\) en el caso en que \(W\) y \(Z\) son subespacios unidimensionales de \(\mathbb{R}^2\) tales que \(\mathbb{R}^2=W\oplus Z\) (tenga un lápiz a mano para realizar los dibujos necesarios). Como sabemos, \(\mathbb{R}^2\) se identifica con un plano, y bajo esta identificación \(W\) y \(Z\) corresponden respectivamente a dos rectas (distintas) \(r_{{\small W}}\) y \(r_{{\small Z}}\) que pasan por el origen. Si \(v=(a,b)\) es un vector cualquiera de \(\mathbb{R}^2\), trácese por el punto \((a,b)\) la recta \(r\) paralela a la recta \(r_{{\small W}}\), y sea \((c,d)\) el punto de intersección de \(r\) con \(r_{{\small Z}}\) (¿por qué existe y es único?). Entonces \(P(v)=z:=(c,d)\).
  
  ¿Hay alguna generalización de la correspondencia anterior para descomposiciones en suma directa que involucren más de dos sumandos? En efecto la hay. Supongamos que \(V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k\). Dado \(v\in V\), existen únicos \(v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\) tales que \(v=v_1+\cdots+v_k\). Definamos entonces las transformaciones lineales \(P_j:V\to V\) tal que \(P(v)=v_j\). Se deduce de la discusión anterior que el conjunto \(\{P_1,\ldots,P_k\}\) tiene las siguientes propiedades:
  • Cada \(P_j\) es una proyección, es decir: \(P_j^2=P_j\), \(\forall j=1,\ldots,k\).
  • Las proyecciones \(P_j\) son "ortogonales dos a dos", es decir: \(P_iP_j=0=P_jP_i\) si \(i\neq j\).
  • \(P_1+\cdots+P_k=Id\).
  Una familia \(\{P_1,\ldots,P_k\}\) de transformaciones lineales en \(V\) que satisfaga las tres propiedades anteriores se llama resolución de la identidad en \(V\).
  
  Así como cada descomposición \(V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k\) da lugar a una resolución de la identidad, cada resolución de la identidad da lugar a una tal descomposición (y las correspondencias así establecidas son inversas entre sí). En efecto, supongamos que \(\{P_1,\ldots,P_k\}\) es una resolución de la identidad en \(V\), y para cada \(j=1,\ldots,k\) sea \(V_j=P_j(V)\). Como es \(P_1+\cdots+P_k=Id\), se deduce inmediatamente que \(V=V_1+\cdots+V_k\); Por otro lado, los espacios \(V_j\) son independientes entre sí, puesto que si \(0=v_1+\cdots+v_k\), con \(v_j\in V_j\) \(\forall j=1,\ldots,k\), y teniendo en cuenta que \(P_j(v_j)=v_j\) \(\forall j\), entonces de las dos primeras propiedades de las resoluciones de la identidad se deduce que \begin{gather*}0=P_j(v)=P_j\big(\sum_{i=1}^kv_i\big) = P_j\big(\sum_{i=1}^kP(v_i)\big) = \sum_{i=1}^kP_jP(v_i) = \sum_{i=1}^k\delta_{ij}v_i =v_j, \end{gather*} \(\forall j=1,\ldots,k.\)

• Semana 7   (Jueves 8 de octubre).   Conjugación; adjunción de operadores

• Semana 8   (Jueves 15 de octubre).   Ortogonalidad

• Semana 9   (Jueves 22 de octubre).   Formas bilineales simétricas y diagonalización.

• Semana 10   (Jueves 29 de octubre).   Más sobre diagonalización. Armando cuadrados, o método de Lagrange.

• Semana 11   (Jueves 5 de noviembre).   Diagonalización vía matrices ortogonales. Aplicación a la clasificación de superficies cuádricas y de puntos críticos.

• Semana 12   (Jueves 12 de noviembre).   Espacios cociente I.

  Relaciones de equivalencia compatibles con la estructura vectorial. Definición y primeros ejemplos de espacios cociente. La proyección canónica es lineal y sobreyectiva. Dimensión del espacio cociente.

• Semana 13   (Jueves 19 de noviembre).   Espacios cociente II.

  Propiedad universal del espacio cociente. Nuevos ejemplos de espacios cociente e identificaciones con espacios conocidos: ejemplos geométricos, en espacios de matrices, en espacios de polinomios. De manera general: si \(V=W\oplus W'\), entonces \(V/W\cong W'\).

• Semana 14   (Jueves 26 de noviembre).   Espacios cociente III.

  Considérese un subespacio \(W\) del espacio vectorial \(V\), y llamemos \(\pi:V\to V/W\) a la proyección canónica. Sean \(\alpha:=\{v_1,\ldots,v_k\}\) una base de \(W\), y \(\beta:=\{v_{k+1},\ldots,v_n\}\) tal que \(\pi(\beta)=\{\pi(v_{k+1}),\ldots,\pi(v_n)\}\) es base de \(V/W\). Sean \(W_\beta\) el subespacio de \(V\) generado por \(\beta\), y \(\mu_\beta:V/W\to V\) la transformación lineal tal que \(\mu_\beta(\pi(v_j))=v_j\), \(\forall j=k+1,\ldots,n\). Entonces: \(\mu_\beta\) es inyectiva con imagen \(W_\beta\), y \(V=W\oplus W_\beta\). En particular \(\gamma:=\alpha\cup\beta\) es base de \(V\). Además \(\pi\circ\mu_\beta=Id_{V/W}\), y \(\mu_\beta\circ \pi\) es la proyección sobre \(W_\beta\) a lo largo de \(W\). Supongamos que \(T\in\mathcal{L}(V)\) es tal que \(T(W)\subseteq W\), y sea \(\overline{T}\in\mathcal{L}(V/W)\) el mapa inducido por \(T\), es decir, la única transformación lineal \(\overline{T}:V/W\to V/W\) que satisface \(\pi\circ T=\overline{T}\circ\pi\). Entonces \([T]_\gamma=\begin{bmatrix} [T|_W]_\alpha&[*]_{k\times(n-k)}\\ [0]_{(n-k)\times k}&[\overline{T}]_{\pi(\beta)}\end{bmatrix}\). Aplicación: si \(V\) es un espacio vectorial de dimensión finita \(n\) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces para toda \(T\in\mathcal{L}(V)\) existe una base \(\gamma\) de \(V\) en la cual \([T]_\gamma\) es triangular superior, es decir, todas las entradas de \([T]_\gamma\) debajo de la diagonal principal son nulas (formalmente, si \([T]_\gamma=[a_{ij}]\), entonces \(a_{ij}=0\) si \(i>j\)).

• Semana 15   (Jueves 3 de diciembre).   Espacios cociente IV y popurrí.

  Cocientes de espacios con producto interno.

Última modificación: Lunes 30 de noviembre de 2020

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