Análisis Armónico Abstracto
Primer Semestre (14/03/2022 al 01/07/2022)
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Bibliografía
Entre las muchas referencias posibles:
- Principles of Harmonic Analysis.
Anton Deitmar and Siegfried Echterhoff, Universitext,
Springer, 2009.
-
Abstract Harmonic Analysis.
Gerald B. Folland, Studies in Advanced Mathematics, CRC
Press, Boca Raton, 1995.
Curso
1) Introducción: elementos básicos de series y transformadas de Fourier.
- Clase 1 (14/3).
Introducción. Series de Fourier y transformada de
Fourier en \(\mathbb{R}\). Grupos de homomorfismos complejos de
\(S^1\) y de \(\mathbb{R}\). Aproximación de los coeficientes
de Fourier en una serie de Fourier: transformada de Fourier
discreta.
- Clase 2 (16/3). El grupo dual de un
grupo abeliano finito es isomorfo al grupo de partida. Una función
compleja no nula definida en un grupo es múltiplo de un
homomorfismo si y solo si todas sus trasladadas son colineales entre
sí. Los caracteres son vectores propios de cada operador de
traslación, y también de cada operador que conmute con
todos los operadores de traslación. Sea \(\pi:G\to GL(V)\)
una representación del
grupo abeliano finito \(G\) en el espacio vectorial complejo
\(\mathbb{C}\). Los caracteres de un grupo abeliano finito \(|G|\) forman
una base ortonormal del espacio vectorial constituido por las
funciones complejas definidas en el grupo, con respecto al producto interno
dado por \(\langle f,g\rangle:=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in
G}f(t)\overline{g(t)}\).
Sea, para cada \(\chi\in\hat{G}\), el operador
\(P_\chi:V\to V\) tal que \(P_\chi=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in
G}\chi(t)\pi_t\); se tiene, \(\forall \chi,\chi'\in\hat{G},\ t\in G\): (a) \(P_\chi^2=P_\chi\); (b)
\(P_\chi P_{\chi'}=0\) si \(\chi\neq\chi'\);
(c) \(\pi_tP_\chi=\overline{\chi(t)}P_\chi\).
2) Grupos
localmente compactos e integración de Haar.
- Clase 3 (21/3).
Espacios localmente compactos. Lema de Urysohn, teorema de Tietze,
teoremas de representación de Riesz. Grupos
topológicos: algunos ejemplos y primeras propiedades.
- Clase 4 (23/3).
Más sobre grupos topológicos. Comienzo de la
construcción de la medida de Haar
- Clase 5 (28/3).
Medida de Haar. : existencia, unicidad. Función
modular.
- Clase 6 (30/3). Propiedades de la
función modular. Ejemplos de medidas de Haar y funciones
modulares. Grupos unimodulares. Dadas una medida de Radon en el
espacio LCH \(X\), y una acción continua \(G\times X\to
X\), las acciones inducidas por \(\alpha\) en \((C_c(X),\|\
\|_\infty)\) y en \((C_c(X),\|\ \|_1)\), son fuertemente
continuas, así como la inducida en \(L^1(\mu)\) cuando
\(\mu\) es \(\alpha\)-invariante.
- Clase 7 (4/4).
Dado un subgrupo cerrado \(H\) del grupo
localmente compacto \(G\), sea \(P:C_c(G)\to C_c(G/H)\) definido como
\(Pf(xH):=\int_Hf(xs)d\mu_H(s)\), donde \(\mu_H\) es la medida de
Haar a izquierda en \(H\). Entonces \(P\) es
\(C(G/H)\)-lineal, positivo, y sobreyectivo. Además
\(\textrm{sop}Pf\subseteq q(\textrm{sop}f)\), donde \(q:G\to
G/H\) es la proyección, y si
\(f\geq 0\) y \(P(f)=0\), entonces \(f=0\).
- Clase 8 (6/4).
Si \(H\) es un subgrupo cerrado del grupo localmente compacto
de Hausdorff \(G\), existe una medida no nula \(\nu\) en
\(G/H\) que invariante por traslaciones si y solo si las
funciones modulares de \(G\) y \(H\) coinciden en \(H\); en ese
caso dicha medida es única a menos de factores
positivos. Fórmula integral del cociente: si
\(\mu_G\) y \(\mu_H\) son las medidas de Haar en \(G\) y en
\(H\) respectivamente, tomando el factor conveniente para
elegir \(\nu\), se tiene
\(\int_Gf(t)d\mu_G(t)=\int_{G/H}\int_Hf(ts)d\mu_H(s)d\nu(tH)\),
\(\forall f\in C_c(G)\) (y de hecho la fórmula vale
\(\forall f\in L^1(G,\mu_G)\)).
3) Álgebras de Banach.
- Clase 9 (20/4).
Álgebras de Banach. Ejemplos:
álgebras de funciones, álgebras de operadores y de
matrices, álgebra de medidas \(M(G)\) y su ideal
\(L^1(G)\). El conjunto \(A^\times\) de los elementos invertibles
de un álgebra de
Banach \(A\) con unidad es abierto en el álgebra, y es un grupo
topológico con la estructura heredada del
álgebra. Si \(a\in A\), el conjunto
\(\sigma(a):=\{\lambda\in\mathbb{C}:\lambda-a\notin
A^\times\}\) se llama espectro de \(a\) en \(A\). El radio
espectral de \(a\) se define como
\(r(a):=\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(a)\}\). Teorema
(Gelfand): el espectro de \(a\) es un conjunto compacto y no
vacío. Teorema de Gelfand-Mazur: toda
\(\mathbb{C}\)-álgebra normada con división es
(isomorfa a) \(\mathbb{C}\). Fórmula del radio espectral:
\(r(a)=\lim_n\|a^n\|^{1/n}\).
- Clase 10 (25/4).
Dependencia del espectro con respecto al
álgebra. Repaso de resultados de análisis
funcional. Operaciones con álgebras de Banach:
sumas y productos directos, cocientes, adjunción de la
unidad \(A\mapsto A^e\). Un homomorfismo complejo de álgebras
es siempre contractivo, y tiene norma 1 si el álgebra
tiene unidad. Espacio de Gelfand de un álgebra
conmutativa. El espacio de Gelfand es localmente compacto y de
Hausdorff, y es compacto si el álgebra tiene unidad. El
espacio de Gelfand de \(A^e\) es la compactificación de
Alexandrof del espacio de Gelfand de \(A\), es decir:
\(\widehat{A^e}=\hat{A}_\infty\).
- Clase 11 (27/4).
Si \(\phi:A\to B\) es un homomorfismo no degenerado (o sea
\(\forall h_B\in\hat{B}\) se tiene
\(\phi(A)\not\subseteq \ker h_B\) ), entonces
\(\hat{\phi}(h_B):=h_B\circ\phi\in\hat{A}\), y \(\hat{\phi}\)
es continua y propia. Ejemplos: álgebra del disco
\(A(\mathbb{D})\), \(C(\mathbb{T})\); el espacio de ideales
maximales de \(C(X)\) es \(X\). Transformada de Gelfand
\(\mathcal{G}_A:A\to
C_0(\hat{A})\), dada por \(a\mapsto\hat{a}\), es un
homomorfismo contractivo de álgebras de Banach, que es
unital si \(A\) tiene unidad. En un álgebra de
Banach \(A\), con unidad, todo ideal propio está contenido en
un ideal maximal, y todo ideal maximal es cerrado; si
además el álgebra es conmutativa, la
correspondencia \(h\mapsto \ker h\) es una
biyección entre \(\hat{A}\) y el conjunto de ideales
maximales de \(A\). Se deduce que en este caso se tiene
\(\sigma(a)=\textrm{Im}(\hat{a})=\{h(a):h\in\hat{A}\}\).
- Clase 12 (02/05).
Homomorfismos no degenerados y funciones
propias. Álgebras de Banach con involución y
C*-álgebras. La norma y el
radio espectral de un elemento autoadjunto en una
C*-álgebra coinciden; unicidad de la norma. Si \(A\) es
una C*-álgebra, en \(A^e\) existe una única
C*-norma que extiende a la de \(A\), y es equivalente a la
usual de \(A^e\). Los *-homomorfismos que van a
C*-álgebras son siempre contractivos.
- Clase 13 (04/05).
Homomorfismos no degenerados y funciones
propias. Álgebras de Banach con involución y
C*-álgebras. Álgebras de Banach
simétricas. Ejemplo: el álgebra del disco no es
simétrica. Toda
C*-álgebra conmutativa es simétrica. Si
\(a^*=a\), entonces \(\sigma(a)\subseteq \mathbb{R}\), y si
\(u^*=u^{-1}\), entonces \(\sigma(a)\subseteq
\mathbb{T}\). Teorema de Gelfand-Naimark. C*-álgebra
generada por un elemento; ejemplo: \(C(\Sigma)\), donde
\(\Sigma\subseteq\mathbb{C}\) es compacto. Un homomorfismo de
C*-álgebras es inyectivo si y solo si es
isométrico. La imagen de un homomorfismo de
C*-álgebras es una C*-álgebra.
- Clase 14 (9/5).
Cálculo funcional continuo para elementos normales. El
espectro de un elemento normal no depende del
álgebra. Teorema de la transformación
espectral. Propiedades del cálculo funcional y
algunas aplicaciones. Las álgebras de Banach
\( M(G)\) y \( L^1(G)\).
Si \(G\) es abeliano: \(L^1(G)\) es
conmutativa; todo elemento de \(\gamma\in\hat{G}\) define un
elemento \(h_\gamma\in\widehat{L^1(G)}\), tal que
\(h_\gamma(f)=\int_Gf(t)\overline{\gamma(t)}dt\); todo elemento
\(h\in\widehat{L^1(G)}\) define un elemento
\(\gamma^h\in\hat{G}\), tal que, si \(\varphi\in L^1(G)\) es tal
que \(h(\varphi)=1\), entonces
\(\gamma^h(t):=h(\delta_t*\varphi)=h(L_t\varphi))\).
4) Análisis y dualidad en grupos localmente compactos abelianos.
- Clase 15 (11/5).
El mapa \(\gamma\mapsto h_\gamma\) es una biyección entre
\(\hat{G}\) y \(\widehat{L^1(G)}\), cuya inversa es
\(h\mapsto \gamma^h\). Además
\(h_i\stackrel{w^*}{\to}_ih\) si y solo si
\(\gamma^{h_i}\to_i\gamma^h\) uniformemente sobre subconjuntos
compactos de \(G\). El grupo dual \(\hat{G}\) de un grupo LCA
(localmente compacto
abeliano) también es un LCA con la topología
compacto-abierto. Si \(G\) es discreto, \(\hat{G}\) es
compacto.
- Clase 16 (18/5).
Si \(G\) es compacto, \(\hat{G}\) es discreto. \(\hat{G}\) y
\(\widehat{L^1(G)}\). Transformadas de Fourier y de
Gelfand. Álgebra de Fourier y propiedades. Transformada
de Fourier-Stieltjes. Espacio esencial de la
representación de una \(*\)-álgebra, y
representaciones no degeneradas.
Si \(u_i\) es una unidad aproximada de una \(*\)-aacute;lgebra de Banach
\(A\) y \(\pi:A\to B(H)\) es una representación,
entonces \(\pi(u_i)\stackrel{SOT}{\to}P\), donde \(P\) es la
proyección ortogonal de \(H\) sobre el espacio esencial
de \(\pi\). Cada representación unitaria de \(G\)
induce una única representación unital de
\(M(G)\), y una única representación no degenerada de
\(L^1(G)\).
- Clase 17 (23/5).
La representación regular de un grupo
LCH es inyectiva y no degenerada. C*-álgebra reducida de un LCH:
\(C^*_r(G)\). Si \(G\) es un LCA, los espacios de Gelfand de
\(L^1(G)\) y de \(C^*_r(G)\) se identifican naturalmente.
- Clase 18 (25/5).
Cada representación no degenerada de \(L^1(G)\) es la
forma integrada de una representación unitaria de \(G\)
(algunos preliminares sobre integración de funciones a
valores en espacios de Banach). C*-álgebra de un LCH:
\(C^*(G)\).
- Clase 19 (30/5).
Si \(\varphi_V\) es una red de Dirac para el LCA \(G\),
entonces \(\hat{\varphi}_V\) converge a 1 uniformemente sobre
subconjuntos compactos de \(G\). La C*-álgebra \(C^*(G)\) de un grupo LCH. \(C^*(G)\) y
\(L^1(G)\) tienen la misma teoría de
representaciones. \(C^*_r(G)\) es un cociente de \(C^*(G)\). Si
\(G\) es un LCA, se tiene \(C^*(G)=C^*_r(G)\). La
extensión de la transformada de Fourier
\(\mathcal{F}:C^*(G)\to C_0(\hat{G})\) es un isomorfismo de
C*-álgebras. Si \(1< p<\infty\) \(f\in L^p(G)\) y \(g\in
L^q(G)\), se
tiene \(f*g\in C_0(G)\) y \(\|f*g\|_\infty\|\leq
\|f\|_p\|g\|_q\). Si \(f\in L^1\) y \(g\in C_c(G)\),
entonces\(f*g\in C_0(G)\), y
\(\|f*g\|_\infty\leq\|f\|_1\|g\|_\infty\). Si \(1\leq
p<\infty\), entonces \(L^1(G)\cap L^p(G)\) es un \(*\)-ideal
denso en \(L^1(G)\). El conjunto
\(I:=\textrm{span}\{f*g:\, f,g\in
L^1\cap L^2 \}\) es un \(*\)-ideal denso de \(L^1(G)\) que
contiene una red de Dirac y está contenido en
\(C_0(G)\). Si \(a\in C^*(G)\) y \(f,g\in L^1\cap
L^2\), entonces \(a*(f*g)=a(f)*g\) (aquí \(a*\xi:=a(\xi)\)
\(\forall a\in C^*(G)\) y \(\xi\in L^2(G)\)). Si \(f\in I\), entonces
\(a*f\in C_0(G)\), y el mapa \(a\mapsto a*f(e)\) es una
funcional lineal continua en \(C^*(G)\). Para cada \(f\in I\)
existe una única medida \(\mu_f\in M(\hat{G})\) tal que
\(a*f(e)=\int_{\hat{G}}\hat{a}(\gamma)d\mu_f(\gamma)\),
\(\forall a\in C^*(G)\). Se tiene
\(\hat{g}\mu_f=\hat{f}d\mu_g\), \(\forall f,g\in I\).
- Clase 20 (1/6).
Teorema de Plancherel:
existe una única medida de Haar
en \(\hat{G}\) tal que la restricción de la transformada
de Fourier a \(C_c(G)\subseteq L^2(G)\to L^2(\hat{G})\) es
isométrica; la extensión isométrica de
esta restricción es un isomorfismo de espacios de
Hilbert entre \(L^2(G)\) y \(L^2(\hat{G})\), y coincide con la
transformada de Fourier en \(L^1(G)\cap L^2(G)\).
- Clase 21 (6/6).
Si \(f\in L^1(G)\) y \(g\in L^p(G)\), con \(1\leq p<\infty\),
entonces \(f*g(t)\) existe para casi todo \(t\in G\), \(f*g\in
L^p(G)\) y \(\|f*g\|_p\leq\|f\|_1\|g\|_p\). La función
evaluación \(\textrm{ev}:\hat{G}\times
G\to \mathbb{C}\) dada por \(\textrm{ev}(\gamma,t)=\gamma(t)\)
es continua. Si \(K\subseteq\hat{G}\) es compacto y \(r>0\), el
conjunto \( M(K,r):=\{ t\in G: |\gamma(t)-1|< r\ \forall \gamma\in
K\} \) es un entorno abierto de \(e\) en \(G\). Fórmula
de inversión: si \(f\in L^2(G)\) es tal que
\(\mathcal{F}(f)\in L^1(\hat{G})\), entonces
\(f(t)=\int_{\hat{G}}(\gamma,t)\mathcal{F}(\gamma)d\gamma\) en
casi todo punto (por lo tanto \(f\) coincide en casi todo punto
con una función continua).
- Clase 22 (8/6).
La familia \(\{M(K,\delta):K\subseteq\hat{G}\textrm{
compacto}, \delta>0\}\) es una base en \(e\) para la
topología de \(G\). El álgebra
de Fourier \(A(\hat{G})\) de \(\hat{G}\) separa puntos de
cerrados en \(\hat{G}\). Un subgrupo de un grupo localmente
compacto es localmente compacto si y solo si es
cerrado. Teorema de dualidad de Pontryagin. La transformada de
Fourier-Stieltjes de una medida es una función
uniformemente continua y acotada por la norma de la
medida. Primeras aplicaciones de la dualidad de Pontryagin.
- Clase 23 (13/6).
Sean \(m\) una medida de Haar en \(G\) y \(\hat{m}\) su medida
asociada (también llamada de Plancherel) en \(\hat{G}\);
si \(G\) es discreto
y \(m\) es la medida de conteo en \(G\), entonces \(\hat{m}\) es
la medida de Haar de masa total 1 en el grupo compacto
\(\hat{G}\); si \(G\) es compacto
y \(m\) es la medida de Haar de masa total 1 en \(G\), entonces
\(\hat{m}\) es la medida de conteo en el grupo discreto
\(\hat{G}\); El isomorfismo canónico de \(G\) a su bidual
lleva la medida de Haar \(m\) de \(G\) en la medida de Plancherel
asociada a \(\hat{m}\) en el bidual. La transformada de
Fourier-Stieltjes \(\mathcal{F}:M(G)\to
C_b(\hat{G})\) es un homomorfismo de \(*\)-álgebras de
Banach, unital, inyectivo y contractivo; además
\(\mathcal{F}(M(G))\) es invariante por traslaciones y por
multiplicaciones por elementos del bidual de \(G\).
Si \(B(G)=\{f\in L^1(G):\hat{f}\in L^1(\hat{G})\}\), entonces la
restricción de la transformada de Fourier a \(B(G)\) es
una biyección sobre \(B(\hat{G})\), cuya inversa es la
restricción de la cotransformada de Fourier a
\(B(\hat{G})\). Además estas biyecciones constituyen
isomorfismos de álgebras entre \((B(G),\cdot)\) y
\((B(\hat{G}),\cdot)\) y entre \((B(G),\cdot)\) y
\((B(\hat{G}),*)\), donde \(*\) y \(\cdot\) representan
respectivamente la convolución y la multiplicación
punto a punto de funciones. Si \(f,g\in L^2(G)\), entonces
\(\hat{f}*\hat{g}=\widehat{fg}\).
- Clase 24 (15/6). No hay clase, por paro.
- Clase 25 (20/6).
El functor dualidad es exacto. Además, si \(H\) es un
subgrupo cerrado de \(G\), se tiene \(\widehat{(G/H)}=H^\perp\) y
\(\hat{H}=\hat{G}/H^\perp\). Fórmula de sumación
de Poisson. Dualidad de anillos con división localmente
compactos y no discretos.
- Clase 26 (22/6).
Operadores de intercambio. Equivalencia unitaria de
representaciones. Subespacios invariantes por
representaciones. Subrepresentaciones. Representaciones
irreducibles. Sumas directas de
representaciones. El Lema de Schur: una representación es
irreducible si y solo si el conmutante de su imagen está
formado exclusivamente por operadores escalares. Revisita a la
correspondencia entre representaciones de \(G\), \(L^1(G)\) y
\(C^*(G)\). Las representaciones irreducibles de un grupo LCA son todas de
dimensión 1 (son unitariamente equivalentes a los
caracteres) Ejemplo: la representación regular de
\(\mathbb{R}\) no tiene subrepresentaciones
irreducibles. Comentarios: el teorema de Gelfand-Naimark; la
representación atómica es fiel.
5) Fórmula
de la traza de Selberg.
- Clase 27 (27/6).
Comentarios sobre algunas relaciones entre la aritmética
y el anális de Fourier. Subgrupos cocompactos. Si \(G\)
contiene un subgrupo unimodular cocompacto, entonces \(G\) es
unimodular. Un reticulado (o lattice) en \(G\) es un subgrupo
discreto \(\Gamma\) de \(G\) tal que
\(\Gamma\backslash G\) admite una medida de Radon finita e
invariante (por traslaciones a derecha por elementos de
\(G\)). Si además \(\Gamma\) es cocompacto, se dice que
es un reticulado uniforme. Operadores de Hilbert-Schmidt y
operadores de clase traza. Expresión de la traza de
ciertos operadores en términos de su núcleo. Si
\(H\) es un subgrupo unimodular y cocompacto de \(G\), la
representación regular derecha \(R\) de \(G\) en
\(L^2(H\backslash G)\) es suma directa de representaciones
irreducibles de multiplicidades finitas, y si \(H=\Gamma\) es
un reticulado uniforme en \(G\), entonces \(R_f\) es un
operador de Hilbert-Schmidt para toda \(f\) en cierto
subespacio denso de \(L^1(G)\). La fórmula de la traza
de Selberg.
Prácticos
- Práctico 1.
Entregar los Ejercicios 4, 7, 11 y
al menos otros tres; plazo: miércoles 20 de abril.
- Práctico 2.
Entregar los Ejercicios 3, 8, 9
y al menos otros dos; plazo: viernes 20 de
mayo.
- Práctico
3.
Entregar al menos los
Ejercicios 1, 6, 8, 10, 12, 14, 17 y dos más; plazo:
viernes 8 de julio.
Última modificación: lunes 27
de junio de 2022