Comentarios
- Los de afuera no son de palo: me parece que no estan colgando los archivos en el lugar adecuado del subversion:
la idea de los directorios trunk branches y tags es la siguietne: en trunk ponen elk tronco prinipal (en este caso los archivos de las clases) en branches derivaciones (creo que no tiene mucho sentido en este caso) y en tags ponen las versiones que tiene algun significado especial: por ejemplo, en el caso denotas de clases, las que se dieron al subespacio. Esta claro que no es imprescindible, pero cuando el asunto crezca peude llegar a ser la diferencia entre que la cosas funcione o sea un caos 
--alvarito
- Diego: Gente hagamos una cosa para que no quede tan extenso el tex, mientras no tengamos el espacio en el subversion vamos pegando solo las clases que faltan en la wiki y cada uno en su carpeta de archivos agrega el archivo clasex.tex siendo x el numero de la clase. Recuerden que les mande por mail todo lo que tenemos. Asi que borro y les dejo la ultima clase mia si quieren (aunque creo que ya mande todo). El siguiente que pegue ponga que clase es y listo.
- Diego: Nicolas cuando puedas hacete el espacio en subversion de estos apuntes. Prove en casa haciendolo con el simbolo del sistema y demas. Estuve ordenando un poco los apuntes y los deje bastante lindo como pa ya ponerlos en el subversion, (separando por clase y agregandolos en el principal).
- Diego: Acabo de pegar una nueva version con la clase numero 6 pronta
- Diego: Cada vez que agreguen una clase, agregen en el tex la clase que estan escribiendo. Para asi no marearnos. Tambien taria bueno ponernos las pilas para usar el "subversion"
Perdón que me meta, pero intenten con el Subversion, si, que les va a facilitar la vida. Si no entienden las mini-instrucciones que hay en Subversion, pregunten a Alvarito que ya le agarró la mano. -- WalterMoreira
- Diego: borre los comentarios viejos.
- Diego: Gente vamos a ponernos las pilas ahora que terminamos con los parciales y completar las clases que faltan. Nicolas trata de pegar por lo menos lo que tengas de las primeras clases. Les paso el cronograma:
- Diego: Matias me acaba de mandar la clase 5 y la pegue abajo. Nico pegate algo de las clases 2 y 3 haci completamos por lo menos lo que iba para el primer parcial.
1 Diego (lista); 2 Nico ; 3 Nico ; 4 Natalia (lista); 5 Matias (lista); 6 Diego (lista) ; 7 Natalia (lista); 8 Natalia (lista); 9 Diego; 10 Nicolas;
Version del 18 de mayo (23:28)
%clase 5
\begin{defi}
Sea $X$ un espacio vectorial sobre $\F$. Una FUNCIONAL DE MINKOWSKI es una funcion $\mapa{m}{X}{\Rmas}$ que cumple:
\begin{enumerate}
\item $m(x+y)\leq m(x)+m(y)$
\item $m(tx)=tm(x)\ \paratodo t \in \Rmas$
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{ejo}
Las normas y seminormas, son todas funcionales de Minkowski.
\end{ejo}
\begin{obs}
El nombre funcional es puramente historico.
\end{obs}
\begin{prop}
Sean $X$ un espacio vectorial real, $Y\subset X$ un subespacio, $\mapa{m}{X}{\Rmas}$ una funcional de Minkowski, y una funcional lineal $\mapa{\Fi}{Y}{\real}$ tal que $\Fi (y)\leq m(y) \ \paratodo y\in Y$. Entonces existe $\mapa{\hat{\Fi}}{X}{\real}$ lineal talque $\hat{\Fi}(x)\leq m(x)\ \paratodo x\in X$ extension de $\Fi$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sea $x\in X$ que no esta en $Y$. El primer paso es extender $\Fi$ al subespacio generado por $Y$ y el elemento $x$. Como dicha extension debe ser lineal, tenemos que $\hat{\Fi}(y+tx)=\Fi(y)+t\alpha$ siendo $\alpha =\hat{\Fi}(x)$. Luego, resta encontrar $\alpha$ para que se cumpla la condicion $\hat{\Fi}(y+tx)\leq m(y+tx)$, para todo $y\in Y$ y $t\in\real$. Si tenemos la desigualdad satisfecha para $t=\pm 1$, vale para todo $t$, ya que
\begin{equation}
\hat{\Fi}(y+tx)=\hat{\Fi}(\modulo{t}(\frac{1}{\modulo{t}}y+sg(t)x))=\modulo{t}\hat{\Fi}(\frac{y}{\modulo{t}}+sg(t)x)\leq \modulo{t}m(\frac{1}{\modulo{t}}y+sg(t)x))=m(y+tx)
\end{equation}
En resumen, tenemos que probar que existe $\alpha\in\real$ tal que:
\begin{enumerate}
\item $\Fi(y)+\alpha\leq m(y+x)\ \paratodo y\in Y$
\item $\Fi(y)-\alpha\leq m(z-x)\ \paratodo z\in Y$
\end{enumerate}
Despejando, obtenemos que $\Fi(z)-m(z-x)\leq\alpha\leq m(y+x)-\Fi(y)\paratodo z,y\in Y$. La existencia de dicho $\alpha$ queda probada si probamos que
\begin{equation}
\inf\{m(y+x)-\Fi(y):y\in Y\}\geq \sup\{\Fi(z)-m(z-x):z\in Y\}
\end{equation}
Pero esto se deduce de que $m(y+x)-\Fi(y)-\Fi(z)+m(z-x)\geq m(y+z)-\Fi(y+z)\geq 0$. Luego dicha extension existe.\\
Consideremos ahora la familia de todas las extensiones lineales de $\Fi$ a subespacios mayores que cumplen la condicion $\hat{\Fi}\leq m$, ordenada de la manera siguiente:\\
\begin{equation}
(Z,\Fi_{Z})\leq(S,\Fi_{S})\Leftrightarrow Z\subset S,\ \ \Fi_{S|Z}\equiv \Fi_{Z}
\end{equation}
Usaremos el lema de Zorn, para ver que exsiste un elemento maximal. Sea $\{(Z_{\alpha},\Fi_{Z_{\alpha}})\}$ una cadena. Luego esta acotada por $(\hat{Z},\hat{\Fi})$ donde $\hat{Z}=\bigcup Z_{\alpha}$ y $\hat{\Fi}(z)=\Fi_{\alpha}(z)$ si $z\in Z_{\alpha}$. Luego este elemento maximal es la extension que buscabamos, ya que debe ser $\hat{Z}=X$ porque de lo contrario la podriamos extender como antes.
\end{proof}
\begin{teo}[Extension de Hahn-Banach]
Sean $X$ un espacio vectorial complejo, $Y\subset X$ un subespacio, $\mapa{m}{X}{\Rmas}$ una seminorma sobre $X$ y $\mapa{\Fi}{Y}{\C}$ una funcional lineal, tal que $\modulo{\Fi(y)}\leq m(y)\ \paratodo y\in Y$. Entonces existe $\mapa{\hat{\Fi}}{X}{\C}$ una extension de $\Fi$ tal que $\modulo{\hat{\Fi}(x)}\leq m(x)\ \paratodo x\in X$.
\end{teo}
\begin{proof}
Definamos $\mapa{f}{Y}{\R}$ poniendo $f=\Re(\Fi)$. Entonces $f(y)\leq\modulo{\Fi(y)}\leq m(y)\ \paratodo y\in Y$. Entonces existe $\mapa{\hat{f}}{X}{\R}$ una extension de $f$ tal que $\hat{f}(x)\leq m(x)\ \paratodo x\in X$. Sea $\mapa{\hat{\Fi}}{X}{\C}$ dada por $\hat{\Fi}(x)=\hat{f}(x)-i\hat{f}(ix)$. Entonces $\hat{\Fi}$ es una extension de $\Fi$. Para ver que $\modulo{\hat{\Fi}(x)}\leq m(x)\ \paratodo x\in X$, sea $\alpha\in\C$ tal que $\modulo{\alpha}=1$ y $\hat{\Fi}(\alpha x)=\modulo{\hat{\Fi}(x)}$. Asi,
\begin{equation}
\modulo{\hat{\Fi}(x)}=\hat{\Fi}(\alpha x)=\hat{f}(\alpha x)\leq m(\alpha x)=\modulo{\alpha}m(x)=m(x)
\end{equation}
lo que concluye la prueba.
\end{proof}
\begin{cor}[1]
Si $X$ es un espacio vectorial normado, $Y$ un subespacio de $X$ y $\Fi\in Y^{*}$, entonces existe $\hat{\Fi}\in X^{*}$ una extension de $\Fi$ tal que $\norma{\hat{\Fi}}=\norma{\Fi}$.
\end{cor}
\begin{proof}
Tomemos $m(x)=\norma{\Fi}\norma{x}$. Entonces tenemos que $\modulo{\Fi(y)}\leq m(y)\ \paratodo y\in Y$, de donde por el teorema anterior existe una extension $\hat{\Fi}$, que cumple
\begin{equation}
\modulo{\hat{\Fi}(x)}\leq \norma{\Fi}\norma{x}\ \paratodo x\in X
\end{equation}
lo cual implica que $\norma{\hat{\Fi}}\leq \norma{\Fi}$. La otra desigualdad es obvia al ser $\hat{\Fi}$ una extension.
\end{proof}
\begin{cor}[2]
Si $X$ es un espacio vectorial normado, y $x\in X$ con $x\neq 0$. Entonces existe $\Fi\in X^{*}$, tal que $\norma{\Fi}=1$ y $\Fi(x)=\norma{x}$.
\end{cor}
\begin{proof}
Sea $\mapa{\Fi_{0}}{\left\langle x\right\rangle}{\F}$ dada por $\Fi_{0}(\alpha x)=\alpha\norma{x}$.Tenemos entonces que
\begin{equation}
\modulo{\Fi_{0}(\alpha x)}=\modulo{\alpha}\norma{x}=\norma{\alpha x}
\end{equation}
de donde $\Fi_{0}$ es continuo y $\norma{\Fi_{0}}=1$. Entonces por el corolario anterior lo extendemos a todo $X$ manteniendo la norma.
\end{proof}
\begin{cor}[3]
Si $X$ es un espacio vectorial normado, y $x,y\in X$ con $x\neq y$. Entonces existe $\Fi\in X^{*}$ tal que $\Fi(x)\neq\Fi(y)$.
\end{cor}
\begin{cor}[4]
Si $X$ es un espacio vectorial normado, $Y\leq X$, y $x\notin Y$. Entonces existe $\Fi\in X^{*}$ tal que $\Fi\equiv 0$ en $Y$, $\norma{\Fi}=1$ y $\Fi(x)\neq 0$.
\end{cor}
\begin{proof}
Sea $\mapa{\pi}{X}{X/Y}$ la proyeccion. Entonces tenemos que $\pi(x)\neq 0$, por lo que existe $\psi\in(X/Y)^{*}$ tal que $\norma{\psi}=1$ y $\psi(\pi(x))=\norma{\pi(x)}$. Luego definimos, $\Fi=\psi\circ\pi$. Entonces $\Fi\in X^{*}$ y $\norma{\Fi}=\norma{\psi}$, con $\Fi(x)\neq 0$.
\end{proof}
%arranca espacios vectoriales topologicos.
\begin{defi}
Un espacio vectorial $X$ es un ESPACIO VECTORIAL TOPOLOGICO si tiene una topologia $\tau$ tal que las operaciones:
\begin{enumerate}
\item $\mapa{+}{X\times X}{X}$ donde $+(x,y)=x+y$
\item $\mapa{\bullet}{\F\times X}{X}$ donde $\bullet(t,x)=tx$
\end{enumerate}
son continuas con la topologia producto.
\end{defi}
\begin{ejo}
Los espacios normados son espacios vectoriales topologicos con la topologia inducida por la norma.
\end{ejo}
\begin{obs}
Si fijamos $a\in X$ la traslacion $\mapa{T_{a}}{X}{X}$ dada por $T_{a}(x)=a+x$ es un homeomorfismo, al igual que la homotecia, fijado $t\in \F$.
\end{obs}
\begin{defi}
Si $X$ es un espacio vectorial, $A,B\subset X$ y $t\in\F$. Definimos:
\begin{enumerate}
\item $A+B=\{x\in X\ t.q.\ x=y+z\ ,\ y\in A,\ z\in B\}$
\item $tA=\{x\in X\ t.q.\ x=ty\ ,\ y\in A\}$
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{prop}
Sea $X$ un espacio vectorial topologico. Si $A,B\subset X$, $t\in\F$ con $t\neq 0$ y $A$ abierto, entonces $A\pm B$ y $tA$ son abiertos.
\end{prop}
\begin{proof}
Tenemos que $tA=M_{t}(A)$ que es abierto ya que $M_{t}$ es un homeomorfismo. Tambien, $A\pm B=\bigcup_{b\in B}A\pm b=\bigcup_{b\in B}T_{\pm b}(A)$ que es una union de abiertos, ya que la traslacion tambien es un homeomorfismo, que por lo tanto es abierto.
\end{proof}
\begin{prop}
Si $X$ es un espacio vectorial topologico, $A,B\subset X$, entonces $\cl{A}+\cl{B}\subset\cl{A+B}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sean, $a\in\cl{A}$, $b\in\cl{B}$ y $W\in\mathcal{N}_{a+b}$. Como la suma es continua existen $V_{a}\in\mathcal{N}_{a}$ y $V_{b}\in\mathcal{N}_{b}$ tales que $V_{a}+V_{b}\subset W$. Como $a\in\cl{A}$ y $b\in\cl{B}$ existen $x\in A\cap V_{a}$ e $y\in B\cap V_{b}$. Entonces tenemos que $x+y\in (V_{a}+V_{b})\cap (A+B)\subset W\cap(A+B)$. Es decir $a+b\in \cl{A+B}$.
\end{proof}
\begin{obs}
En un espacio vectorial topologico $X$, si $x,y\in X$ y $\{V_{\alpha}\}$ es una base de entornos de $x$. Entonces $\{V_{\alpha}-x+y\}$ es una base de entornos del punto $y$.
De aqui, resulta que si $\{V_{\alpha}\}$ es una base de entornos del $0$, entonces para todo $x\in X$ $\{V_{\alpha}+x\}$ es una base de entornos de $x$.
\end{obs}
\begin{prop}
Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topologicos, y $\mapa{T}{X}{Y}$ lineal. Entonces $T$ es continua si y solo si es continua en algun punto.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $T$ es continua en $x_{0}$, sean $x\in X$ y $W\in\mathcal{N}_{T(x)}$. Entonces, $W-T(x)+T(x_{0})\in\mathcal{N}_{T(x_{0})}$, por lo que existe $V\in\mathcal{N}_{x_{0}}$ tal que $T(V)\subset W-T(x)+T(x_{0})$. De donde $T(V-x_{0}+x)\subset W$, con $V-x_{0}+x\in\mathcal{N}_{x}$. Es decir $T$ es continua.
\end{proof}