¿En qué andamos?

Primera Semana

Fernando: En la única clase de esta semana hice una descripción del curso. Después hablé de álgebras, sigma-álgebras, premedidas y medidas. También hablé de medidas exteriores y de conjuntos medibles para una medida exterior. Incluso llegué a enunciar el teorema de Carathéodory, aunque me abstuve de probarlo, no sé bien por qué. Sí mostré como generar medidas exteriores a partir de, por ejemplo, premedidas. En consecuencia el primer práctico se puede elaborar sobre esas cosas.

Fernando: Hoy hice un repaso de lo visto antes de Semana Santa. Después probé el teorema de Carathéodory y probé que toda premedida admite una extensión a una medida. Definí premedidas sigma-finitas y terminé con un par de ejemplos: 1-medida de conteo en la sigma-álgebra de los subconjuntos de R numerables o de complemento numerable; 2-premedida de Lebesgue.
Nico: Vimos que en particular que si la premedida es sigma-finita entonces la extensión es única, y comentamos un contraejemplo (despues va a estar en el práctico). Probamos las propiedades elementales de las medidas (vimos ejemplos donde "no anda" la continuidad por arriba), y después vimos que toda medida se puede completar. Comente algo sobre MBA y les llegue a contar como se contruye una función de distribución para la medida, que propiedades tiene, y en que se parece a las funciones de distribución de probabilidad, pero esto quedo a medio hacer.

Fernando: comencé probando el teorema de aproximación: si E es \mu^*-medible, donde \mu^* es la medida exterior inducida por cierta premedida \mu_0 sobre un álgebra A, entonces para todo \epsilon>0 existe un elemento F\in A tal que la diferencia simétrica de E y F tiene medida (la inducida por \mu^* en los \mu^*-medibles) menor que \epsilon. Después pasé a las medidas de Lebesgue-Stieltjes: después de un largo rato de cuentas probé que hay una biyección entre las funciones crecientes que se anulan en 0 y son continuas por la derecha, y las medidas de Borel que son finitas sobre subconjuntos acotados de la recta.
Fernando: hoy jueves definí la medida de Lebesgue, vi que es invariante por traslaciones, y que toda tal medida es un múltiplo de la de Lebesgue. Vi que hay conjuntos no medibles Lebesgue. Después divagué un poco con la paradoja de Banach-Tarski.

Fernando (martes): vi algunos ejemplos, entre ellos el conjunto de Cantor. Mostré que el cardinal de los borelianos de R es el de R, mientras que el de los medibles Lebesgue es el de las partes de R. Después vi que si F es creciente y de clase C¹, entonces todo medible Lebesgue es medible con respecto a la medida inducida por F.
Nico: Arranque con funciones medibles, definición, propiedades: basta que cumpla para un generador, las continuas son borel medibles. Algunos ejemplos: fns. constantes, y que pasa cuando las sigma-algebras son {Y,0} y \P(X). Sigma-algebra producto y que son medibles si cada coordenada lo es. Aplicación a funciones complejas, suma y producto son medibles. Espacio L⁺ (funciones medibles a [0,\infty]): sup, inf, liminf, limsup son cerrados en L⁺. Funciones simples y teorema de aproximación para L⁺.

Fernando (martes): excelente Nico. Me pongo en un rato a preparar la clase para hoy en base a lo que escribiste arriba.
Fernando (martes): bueno, ya di la clase. Primero vi el teorema de aproximación de funciones complejas medibles por funciones simples; luego hablé de propiedades ctp; después definí la integral de las funciones simples no negativas, y más tarde de cualquier función medible no negativa. Vi que en este caso se tiene que \int f=\int g sii f=g ctp; finalmente demostré el TCM y su corolario para series de funciones.
Fernando (jueves): Lema de Fatou, algún ejemplo; integración de funciones complejas, definición de L¹.

Fernando (martes): "seudoclase", debido a la intergremial.
Fernando (jueves): Identificación entre el L¹ de una medida y el L¹ de su completación. Teorema de convergencia dominada. Aplicaciones: dependencia de integrales con respecto a parámetros, regla de Leibniz.

Fernando (martes): convergencia en medida, ejemplos; la convergencia en L¹ implica la convergencia en medida.
Fernando (jueves): convergencia en medida: toda sucesión convergente en medida tiene una subsucesión que converge en casi todo punto a la función límite; convergencia casi uniforme: teorema de Egoroff.

Fernando (martes): medidas producto: construcción; clases monótonas, lema de la clase monótona.
Fernando (jueves): medidas producto: teorema de Fubini-Tonelli.

Fernando (martes): repaso sobre espacios topológicos localmente compactos de Hausdorff: lema de Urysohn, teorema de extensión de Tietze, particiones de la unidad, etc. Funcionales positivas sobre Cc(X).
Fernando (jueves): medidas de Radon y teorema de representación de Riesz para funcionales positivas sobre Cc(X).

Fernando (martes): vi algunos resultados sobre regularidad; en particular: 1 - toda medida de Radon sigma-finita es regular y 2 - toda medida de Borel finita sobre compactos en un espacio sigma-compacto es de regular.
Fernando (jueves): C_c(X) es denso en L¹(X) para toda medida de Radon; teorema de Lusin; comencé con medidas signadas; teorema de descomposición de Hahn.

Fernando (martes): medidas mutuamente singulares; teorema de descomposición de Jordan de medidas con signo; variaciones positiva, negativa y total de una medida; continuidad absoluta: caracterización para medidas finitas.
Fernando (jueves): teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym.

Fernando (martes): Espacios L^p: desigualdades de Hölder y de Minkowski, teorema de Riesz-Fischer.
Fernando (jueves): densidad de las funciones simples en L^p, el espacio L^\infty, generalización de resultados, etc. Hacia la dualidad (L^p)^*=L^q.